Az utóbbi fejezetben változók eloszlását vizsgáltuk, de azzal nem foglalkoztunk, hogy azok hogyan realizálódnak egyes esetekben. Csak azt állapítottuk meg, hogy egy X valószínűségi változó milyen valószínűséggel esik egy adott intervallumba. Ez a valószínűség bizonyos paraméterektől függ, amelyek ezt az általában ismeretlen eloszlást leírják. Tehát nincs semmi ismeretünk az eloszlásról, ezt kísérleti úton nyert tapasztalati eloszlással kell közelítenünk. Kísérleteket végzünk e célból, amelynek az eredménye véges számú mérési eredmény, ún. statisztikai minta lesz.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét a megfelelő számértékekkel együtt statisztikai sokaságnak vagy populációnak nevezzük. Más szóval, a populáció azoknak az elemeknek, objektumoknak az összessége, amelyről információt kívánunk nyerni.

3.Példa. Tegyük fel, hogy egy kutató az egyéves hímnyulak átlagos súlyát szeretné meghatározni. Lehetetlen a populáció összes egyéves hímnyulát megmérni, mivel a populáció sosem létezik teljes egészében egy adott időpontban. Ha a kutató pld. 50 darab hímnyulat véletlenszerűen kiválaszt, ez az 50 nyúl lesz az alapja a populáció vizsgálatához. Ez az 50 nyúl ún. statisztikai mintát képez.

Ismételjünk meg egy kísérletet n-szer, a populáció n elemén. Így n számú megfigyelést kapunk. Az ismétléseket egymástól függetlenül, ugyanazon körülmények között kell végrehajtanunk. Minden ismétlés eredménye egy valós szám lesz, amely egyúttal egy X valószínűségi változó értéke. Jelöljük az így kapott számsorozatot -nel.

Az egymástól független és X-szel megegyező eloszlású valószínűségi változók összességét n-elemű mintának nevezzük. Ha X eloszlásfüggvénye F(x), akkor azt mondjuk, hogy egy, az F(x) eloszlású sokaságból vett (n-elemű véletlen) minta. Az xi-ket mintaelemeknek nevezzük.n

A mintaelemeknek egy populációból történő véletlenszerű kiválasztásának több módszere is van (visszatevés nélkül, visszatevéssel, szekvenciálisan, stb.). A véletlen mintában a kiválasztás azon elv szerint történik, hogy a populációnak minden eleme egyforma valószínűséggel legyen választható. A mintavételezés a biostatisztika egyik fontos kérdése, de mi nem foglalkozunk vele.

A statisztikai vizsgálat célja egyrészt populációról a minta alapján leíró információkat szerezni, másrészt következtetéseket szeretnénk levonni, hipotéziseket bebizonyítani. Az első cél a leíró statisztika, a második pedig a statisztikai analízis, következtetés témaköre. A következő fejezetben a leíró statisztika módszereivel foglalkozunk, azaz, a minta alapján a populáció jellemzésével.

Tekintsünk egy statisztikai mintát, mely az F(x) eloszlású populációból származik. Ez egyúttal az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye is, melyet tehát a populáció eloszlásfüggvényének vagy elméleti eloszlásfüggvénynek nevezünk. Hasonlóan (folytonos esetben) f(x) az elméleti sűrűségfüggvény, mindkettő többnyire ismeretlen.

Az értékek a számegyenesen véletlenszerűen helyezkednek el, minden konkrét esetben azonban kapunk n meghatározott pontot. Ha az így kapott pontok mindegyikéhez hozzárendelünk 1/n valószínűséget, akkor egy diszkrét valószínűségeloszlást kapunk, melyet empírikus eloszlásnak nevezünk, az ehhez tartozó eloszlásfüggvényt a minta eloszlásfüggvényének vagy empírikus eloszlásfüggvénynek nevezzük. Minél nagyobb az n, annál jobban megközelíti a minta eloszlásfüggvénye az elméleti eloszlásfüggvényt.

A kutató gyakran keres olyan számokat, amelyek az adatai általános jellemvonását tükrözik. Ilyen jellemzők az átlag, a módusz és a medián, melyeket a következőképpen definiálunk:

Tekintsük az mintát.

Az átlag vagy mintabeli átlag a mintaelemek számtani közepe, azaz:

(2.1)

A módusz a minta leggyakrabban előforduló eleme.

A medián az az érték, amelynél a mintaelemek fele kisebb, és amelynél a mintaelemek fele nagyobb. Kiszámítása oly módon történik a mintaelemekből, hogy a mintát először nagyság szerint rendezzük, és páratlan mintaelemszám esetén a középső elem a medián, páros mintaelemszám esetén a két középső elem számtani közepe.

1.Példa. 11 hallgató maximum 100 pontos teszteredményei a következők: 100 100 100 63 62 60 12 12 6 2 0. Az átlag 517/11=47, a modus 100, a medián 60. Az egyik hallgató szerint szigorú volt a tanár, mert a 47-es átlagot alacsonynak találta. A tanár szerint több 100 pontos teszt volt, mint bármely más teszt. Végül a tanszékvezető megfelelőnek találta az eredményeket, mivel a közepes érték, 60 nem mondható rendkívülinek.

2. Példa. Számítsuk ki a 3,7,5,6,8 minta mediánját.Átrendezés után kapjuk a 3,5,6,7,8 sorrendet, a medián a középső elem, 6. A 3,3,5,6,8,13 minta mediánja viszont (5+6)/2=5.5.

Hasonlóan az elméleti és tapasztalati eloszlások közötti kapcsolathoz, amely a populáció és a minta közötti kapcsolatra vezethető vissza, a minta átlagának, móduszának és mediánjának is megvan az elméleti "megfelelője": az elméleti átlag, módusz, valamint a medián.

A minta átlag a populáció átlagnak vagy elméleti átlagnak vagy a várható értéknek a közelítése. A populáció átlagát a m görög betűvel jelöljük, és ez az összes populációbeli elem összege osztva az elemek számával. A minta módusza az elméleti eloszlás helyi maximumának egy közelítése, a minta mediánja a populáció mediánjának egy közelítése.

.

Tegyük egyenlővé a jobboldalt 0-val, és oldjuk meg az egyenletet m-re:

Az utolsó egyenlőségből m -et kifejezve kapjuk a (2.1) alatti formulát:

Tehát a számtani átlag szélsőérték hely. Bebizonyítható, hogy ez minimum is, mert a második derivált mindig pozitív:

Szükségünk van egy olyan mérőszámra is, amely azt mondja meg, hogy a mintaelemek közel vannak-e az átlagtól, vagy távol vannak tőle. Egy ilyen mérőszámot a szóródás mérőszámának nevezzük, ideális esetben ez a szám akkor nagy, ha a mintaelemek távol vannak az átlagtól, és kicsi, ha közel. Ilyen, a leggyakrabban alkalmazott mérőszámok a terjedelem, a variancia és a standard deviáció.

A terjedelem a minta legnagyobb eleme (maximuma) és legkisebb eleme(minimuma) közötti különbség.

Most tekintsünk egy, az átlagtól való eltérést mérő számot. Az átlagtól egyenlő távolságra levő egyedek egyenlő mértékben járulnak hozzá ehhez a számhoz, akár pozitív, akár negatív az átlagtól való eltérésük. Négyzetre emeléssel eltüntethető a negatív előjel, tehát definiáljuk a minta szóródását az átlagtól való átlagos négyzetes eltéréssel, amit varianciának nevezünk. A variancia képlete a következő:

Mivel a varianciát gyakran nehéz elképzelni, általánosabban használt mérőszám a szóródásra a variancia négyzetgyöke, amit standard deviációnak vagy a minta szórásának nevezünk. A standard deviáció képlete:

A szóródás mérőszámai is definiálhatók a teljes populációra is, így a minta terjedelme, varianciája és standard deviációja a populáció terjedelmének, varianciájának és standard deviációjának közelítései.

i	xi	xi-4.2	(xi-4.2)2			xi	xi2
1	1	-3.2	10.24			1	1
2	8	3.8	14.44			8	64
3	0	-4.2	17.64			0	0
4	3	-1.2	1.44			3	9
5	9	4.8	23.04			9	81
S	S xi=21		S (xi-4.2)2= 66.8			S xi=21	S xi2= 155

1. Ha a mintaelemekhez ugyanazt a számot hozzáadjuk, vagy a mintaelemekből ugyanazt a számot levonjuk, az így keletkezett minta szórása megegyezik az eredeti minta szórásával.

2. Ha a mintaelemeket ugyanazzal a számmal szorozzuk, az így keletkezett minta szórása az eredeti minta szórásának konstansszorosa lesz. Ugyanez érvényes egy konstanssal való osztásra is.

Egy mintaelemre vonatkozó mérőszám természetesen adódik: maga a mérés eredménye, az a szám, amelyet a mintavételezés során kapunk. Egy másik fontos mérőszáma egy mintaelemnek az ún. z érték, vagy a mintaelem standardizáltja. A z érték megadja, hogy a mintaelem eltérése a minta átlagától a standard deviáció hányszorosa. Ha adott egy minta, az xi mintaelemhez tartozó z érték a következőképpen számítható :

, i=1,2,...,n.

Példa . Egy osztályban egy tesztnek a következő eredményei születtek: az átlag 83 pont volt, a standard deviáció 5, a medián 87 és a terjedelem 24. Az egyik gyereknek ebben az osztályban 69 pontos eredménye lett. Az ehhez tartozó z érték z=(69-83)/5=-14/5=-2.8. Ez azt mutatja, hogy ennek a gyereknek a teljesítménye majdnem 3 standard deviációval volt az átlag alatt.

A z értéket a mintaelemek relatív helyzetének a jellemzésére is használhatjuk. Tekintsünk két vizsgaeredményt, melyet egy hallgató elért: angolból 85 pont, fizikából 65. Tegyük fel, hogy az angol tesztek átlaga 70 lett, a fizika teszteké pedig 50. Azt jelenti-e ez, hogy a hallgató relatíve ugyanazt az eredményt érte el mindkét tárgyból? (az átlagtól való eltérés 15 mindkét esetben). Ha figyelembe vesszük a szórásokat is, és kiszámítjuk a z értékeket, láthatjuk, hogy nem, az átlagtól való eltérés önmagában nem elegendő a hallgató mintabeli relatív helyzetének a meghatározásához, amint ezt a következő táblázat is mutatja:

Angol		Fizika
100		65	a hallgató pontszáma
99		57
98		55
85	a hallgató pontszáma	53
73		50
67		49
60		47
53		44
45		44
20		36
=70		=50
s=26.4		s=8.1

Ebből a táblázatból látható, hogy bár az átlagtól való eltérés mindkét esetben ugyanannyi, a hallgató fizikából relatíve jobb volt, mint angolból. Hogy lássuk, hogyan viszonyul a hallgató a többihez, számítsuk ki a z értékeket. A hallgató angol tesztjének z értéke z=(85-70)/26.4=15/26.4=0.56, a fizikáé z=(65-50)/8.1=15/8.1=1.9. Látható, hogy a fizika eredmény relatíve jobb.

Másik lehetséges mérőszám egy mintaelem pozíciójának a meghatározására a mintaelemnek a rendezett mintában elfoglalt helye (pld. "10-ből a negyedik") . Ez főként kis mintaelemszám esetén használható.