Az adatelemzés egy tipikus problémája a következõ. Ismert a populáció eloszlásának általános matematikai formulája, de egy vagy több paraméter értéke nem, ezeket egy mintából kell becsülni. Például, ismert, hogy a testsúlyok normális eloszlást követnek, de a populáció paraméterei, m és s ismeretlenek, ezeket kell egy minta alapján közelítõleg meghatároznunk. Ez a paraméterbecslés problémája.

Az mintaelemek függvényét (amely maga is valószínûségi változó) statisztikának nevezzük. n

A legtöbb statisztikai alkalmazásban nem elegendõ azt állítani, hogy a paraméter többé kevésbé megközelíthetõ statisztikákkal. Sokszor van szükség olyan intervallum megadására, amely a populációbeli paraméter értékét nagy valószínûséggel tartalmazza. Értékeknek egy ilyen halmazát intervallumbecslésnek nevezzük. Egy ilyen intervallum mindig kapcsolatba hozható egy valószínûséggel . Minél nagyobb valószínûséget rendelünk az intervallumhoz, annál biztosabbak lehetünk abban, hogy az intervallum tartalmazza a paraméter igazi értékét.

,

a -t általában a =0.1, a =0.05, a =0.01 vagy a =0.001-nek szokás választani, és így a megfelelõ megbízhatósági szintek 90%, 95%, 99% vagy 99.9%.

Ha N(m ,s ) eloszlású populációból vett minta, akkor a

(4.1)

(4.2)

A (4.1)-ben megadott u-t (4.2)-be helyettesítve, majd m -t kifejezve kapjuk, hogy

(4.3)

azaz, az véletlen intervallum a m -t tartalmazza 1-a valószínûséggel. Ez tehát egy (1-a )100% szintû konfidencia intervallum m -re .

Ha nemcsak m , de s is ismeretlen, akkor az õ becslését, a minta standard deviációját, s-t kell használnunk. Az u helyett egy másik, t-vel jelölt statisztikát fogunk alkalmazni, amely u -tól csak a nevezõben tér el:

(4.4)

Ha az minta N(m ,s ) eloszlásból származik, akkor a t valószínûségi változó ún. t eloszlást vagy Student t eloszlást követ n-1 szabadságfokkal.

Sok t eloszlás van, minden szabadságfokhoz ( a minta-elemszámtól függõ számhoz) különbözõ t-eloszlás tartozik. A t-eloszlások hasonlóak a normális eloszláshoz, szimmetrikusak és harang alakúak. Ha pontosan lerajzoljuk, látható, hogy minél kisebb a szabadságfok, annál laposabb a görbe. Fordítva, minél nagyobb a szabadságfok, annál jobban "hasonlít" a t-eloszlás görbéje a normális eloszlás görbéjére. A t-eloszlásokat a különbözõ szabadságfokok szerinti táblázatokban megtalálhatjuk.

(4.5)

Behelyettesítve (4.4)-beli t-t (4.5)-be, és m -t kifejezve kapjuk, hogy

(4.6)

azaz, a véletlen intervallum tartalmazza m igazi értékét. Ez az intervallum tehát (1-a )100% szintû konfidencia intervallum m -re.

4. Példa. Egy cég 16 ml-es üvegekben árul bizonyos gyógyszert. Az üvegeket egy automata tölti. Ha nem tölt pontosan, tehát többet vagy kevesebbet tölt az üvegekbe, akkor a töltést le kell állítani és újra beállítani az automatát. A cég csak akkor állítja le a folyamatot, ha nagyon biztos abban, hogy az átlagos töltés a 16 ml alatt vagy felett van.

Az automata adott beállítása esetén az összes lehetséges legyártott vagy legyártható üvegek (végtelen) populációjáról van szó, amely populáció átlaga, m =16. A gyártás ellenõrzésére idõnként véletlenszerûen kiválasztanak néhány üveget (minta), ennek alapján próbálnak következtetni a populációra.

Tegyük fel, hogy a következõ, hatelemû mintát kapták az egyik ellenõrzés során:

15.68, 16.00, 15.61, 15.93, 15.86, 15.72

Számítsunk 95%-os és 99%-os konfidencia intervallumot a minta alapján a populáció átlagára.! Könnyen ellenõrizhetõ, hogy az átlag és a szórás s=0.156.

Annak valószínûsége, hogy az automata adott állapotának megfelelõ populáció átlaga ebbe az intervallumba esik, 0.95 (95%). Ha másik 100, hatelemû mintát vennénk a fenti állapot mellett, akkor ezek átlagai közül 5 nem fog beleesni a fenti intervallumba.

Látható, hogy a populáció paraméterének értéke egy olyan intervallumba esik, amely szimmetrikus az mintaátlagra. Nagy elemszám esetén (n>30) és a =0.05 esetén, a ta értéke körülbelül 2. Így a 95 % -os konfidencia intervallum hossza az mennyiségtõl függ. Ennek a számnak speciális jelentése van, mivel a centrális határeloszlás tételben említett becslésének tekinthetõ.

A képlettel megadott statisztikát az átlag szórásának nevezzük, vagy standard errornak (rövidítése néha S.E.M.). n

Ez a szóródásnak egy másik mérõszáma. Különbséget kell, hogy tegyünk a két tanult szórás között: a standard deviáció a mintaelemek szóródását fejezi ki az átlag körül, míg a standard error az összes lehetséges mintaátlag szóródását fejezi ki a populáció átlaga körül. Ha megismétlünk egy kísérletet, akkor az új átlag a régitõl a (4.3)-beli formulának megfelelõ intervallumban fog feküdni 1-a valószínûséggel.

Tegyük fel, hogy szeretnénk meghatározni a minta n elemszámát oly módon, hogy (1-a )100% biztonsággal elõírjuk, hogy a mintaátlag d egységgel térhet el maximálisan a populáció átlagától. Ha (4.3)-ban a határokat egyenlõvé tesszük d-vel és ezt az egyenletet megoldjuk n-re, a következõt kapjuk .

. (4.4)