Ha páronként elvégezzük a kétmintás t-próbát, a következõ t-értékeket kapjuk:

A-B: t=2.39 A-C: t=0.93 B-C: t=1.34

2. A fenti probléma tehát feloldható. Van azonban a páronkénti t-próba több csoportra történõ alkalmazásával kapcsolatban egy komolyabb probléma is. Ha a három csoportot külön-külön teszteljük páronként, A-B hasonlításakor, ha a különbség szignifikáns, a hibánk valószínûsége 0.05. A hiba elkerülésének valószínûsége 1-0.05=0.95. Hasonlóan az A-C és B-C hasonlításánál. Ha a három csoportot közösen teszteljük, és azt akarjuk állítani, hogy legalább 1 pár különbözik (0.05 hibavalószínûséggel), a hiba elkerülésének valószínûsége 0.95*0.95*0.95=0.857375, a hiba valószínûsége tehát 1-0.857375=0.142625, körülbelül tehát 0.15 is lehet a hibánk valószínûsége.

Bebizonyítható, hogy a kétmintás-t-próba páronkénti alkalmazásánál sok minta esetén nagy a valószínûsége, hogy szignifikáns különbséget kapunk még egy és ugyanazon eloszlásból származó minták esetén is. Véletlen minta generálásával szimulációs kísérlettel magunk is meggyõzõdhetünk róla.

Általában is igaz, hogy ha a kísérletünk több változót eredményez, akkor a két minta összehasonlítására vonatkozó módszerek páronkénti alkalmazása nem megfelelõ.

A variancia analízis sokféle kísérleti elrendezésbõl származó minták középértékeinek összehasonlítására való kiértékelési módszer. Mi a legegyszerûbb esetben mutatjuk be az analízist: az ún. egyszempontos variancia analízis esetén, több független minta összehasonlítását.

Az egyszempontos variancia-analízis a kétmintás t-próba általánosítása több független csoport esetére, tehát a várható értékeket hasonlítja össze, mégpedig a teljes variancia felbontásával. Ezért hívják variancia-analízisnek (ANOVA - Analysis of Variance).

Módszer: a varianciát kétféleképpen is kiszámoljuk, az egyik a mintákon belüli, a másik a minták közötti variancia becslése. Ha igaz H0, akkor mindkét módon ugyanazt a varianciát becsültük, tehát a varianciáknak egyenlõknek kell lenniük, így az elõzõ nullhipotézis helyett a következõt teszteljük:

A mintákon belüli variancia becslése az egyes varianciák "súlyozott" átlaga:

Ez a varianciának akkor is jó becslése, ha az átlagok nem egyenlõk . (Nevezhetjük hibavarianciának vagy nem magyarázott varianciának is)

A minták közötti variancia becsléséhez kiszámoljuk a minta-átlagokat, és ezeknek a varianciáját vesszük:

ahol jelenti az összes adat átlagát, N pedig az össz-elemszámot.

Ez a varianciának csak a nullhipotézis teljesülése esetén jó becslése, nevezhetjük magyarázott varianciának is.

Az összvariancia becslése pedig

szabadságfokú F-eloszlású valószínûségi változó.

Azt, hogy a varianciákat kétféleképpen is fel tudtuk írni, a teljes eltérésnégyzetösszeg felbontásával szemléltethetõ. Ez egyúttal módot ad arra, hogy a variancia analízis számolását táblázatba foglaljuk.

Azt, hogy a varianciákat kétféleképpen is fel tudtuk írni, a teljes eltérés-négyzetösszeg felbontásával szemléltethetõ. A teljes variancia számlálóját átalakítjuk, hozzáadjuk és levonjuk ugyanazt a tagot:

A jobboldalt két tagnak felfogva elvégezzük a négyzetreemelést:

A teljes eltérésnégyzetösszeg felbontása alapján a következõ tálázatot szokták megadni:

Ha a variancia-analízis eredménye nem szignifikáns, akkor az analízisnek vége, és azt modjuk, hogy a várható értékek között nincs különbség.

Ha a variancia-analízis eredménye szignifikáns, akkor csak annyit mondhatunk, hogy a populációk átlagai között van legalább egy, a többitõl eltérõ. Azt, hogy melyik az, ahhoz páronként össze kell hasonlítanunk az átlagokat. Speciális próbákat dolgoztak ki, melyek többé-kevésbé mind az egész kísérletre vonatkozóan "garantálják", hogy az elsõ fajta hiba valószínûsége a , tehát adott szignifikancia szinten tarjták az elsõ fajta hiba valószínûségét. Ezek közül néhány:

A t-próba képletét alkalmazza, csak most az összevont szórás helyébe a variancia-analízisbõl kapott sb-t teszi, így az i-edik és j-edik csoport közötti különbséget a következõ képlettel adott, N-h szabadságfokú t-próbával teszteli:.

2. Bonferroni módszer

a t-próba képletét alkalmazzuk, de nem a , hanem a /c szinthez tartozó t-értékehez hasonlítjuk (kétoldali táblázat esetén) , ahol c az összehasonlítások száma. Ha a programrendszerek által kiadott p-értéket (Sig.level) használjuk, akkor a kétmintás t-hez tartozó p-értéket le kell osztani az összehasonlítások számával. Nyilvánvaló, hogy ez a módszer csak kisszámú összehasonlítás esetén alkalmazható inkább.

4. Tukey-próba minden lehetséges, nagyszámú páronkénti hasonlítás esetén a Tukey próba rövidebb intervallumokat ad, mint a Scheffé vagy a Bonferroni (azaz hamarabb mutat szignifikáns eltérést). Képlete egyenlõ elemszám esetére

mennyiséget speciális táblázatból, az ún. studentizált terjedelmek táblázatából kell kikeresni (h, N-h) esetén.

6. Scheffé próba minden lehetséges kontrasztra vagy más lineáris hipotézisre, beleértve a páronkénti összehasonlításokat: két csoport akkor tekinthetõ szignifikánsan különbözõnek, ha

1× m 1+(-1/2)× m 2+(-1/2)× m 3. Ha pl. valamilyen kezelés utáni vizsgálat eredményei egy kezelés után 1, 2 ill. 3 óra múlva, akkor feladatunk lehet a csoportok várható értékei hasonló lineáris növekedést vagy csökkenést mutatnak. A feltevésünk így fogalmazható meg:

7. Dunnett próba minden csoportot egyetlen csoporthoz (kontroll) hasonlít.

1. Minden lehetséges páronkénti hasonlítás esetén a Tukey próba rövidebb intervallumokat ad, mint a Scheffé vagy a Bonferroni (azaz hamarabb mutat szignifikáns eltérést)

2. Ha minden kontraszt is érdekel, a Scheffé a legjobb. Ha csak néhány, Bonferroni.

3. Tukey és Scheffé használhatók arra, hogy azt vizsgáljuk, amit az adatok szuggerálnak, a Bonferrori erre nem használható.

4. Számítsuk ki mindet, és a végén a számunkra legmegfelelõbbet használjuk.

Az elõbbiekben azt a legegyszerûbb esetet tárgyaltuk, amikor egy, az általunk vizsgált változó értékét csak egyféle "szempont" hatása (pl. különbözõ kezelések) befolyásolja. Ezért is hívják egyszempontos variancia analízisnek, és ezért van a teljes eltérés-négyzetösszeg csak két részre felbontva, egy kezelés (minták közötti) és egy hibatagra (mintákon belüli).

Ha a változónk értékét egy másik tényezõ is befolyásolja, akkor a teljes eltérésnégyzetösszeg több részre bontható fel, és külön vizsgálható a két szempont hatása. (Például kezelés és nemek szerinti különbségekre vagyunk kiváncsiak). Az ilyen analízist kétszempontos variancia analízisnek nevezzük.

Ha nem több, nem független változó középértékét szereténk összehasonlítani, megint félrevezetõ eredményeket adhat az egymintás t-próba többszöri alkalmazása. Ehelyett speciális variancia analízist, ún. ismételt méréses (repeated measures) variancia analízist kell alkamazni. Itt a kezelés-hatás mellett megjelenik az ismétlések hatása vagy blokkhatás is, és természetesen a hibatag.

Ezekkel a modellekkel nem foglalkozunk részletesen.

Példa. Egereken kísérleteztek: GdCl3 nevû szer hatását vizsgálva a fehérvérsejtszámra. Három kísérleti csoport volt: egy kontroll, és két módon beadott GdCl3: GdCl3-ip és GdCl3- iv. Kérdés, hogy a szernek volt-e hatása a fehérvérsjejtszám alakulására, és különbözõ volt-e a hatása a kétféle GdCl3 kezelés esetén. Erre a problémára alkalmazható az egyszempontos variancia-analízis.

A futtatáshoz felhasznált adatok a SZOTE kutatásai során keletkeztek, az eredményeket már közöltük, bemutatásukhoz a társszerzõk hozzájárultak; a futtatási eredményeket felhasználói és oktatási szempontból szeretném értelmezni.

Az adatok beírása:

Eredeti adatok esetén az SPSS-ben két változót kell megadni: az egyik egy kategorikus numerikus változó (gdcl3), melybe a csoportok kódjait írjuk, a másik szintén numerikus változó (osszfvs), melybe az összfehérvérsejtszámokat írtuk be. A kódokat célszerû egymást követõ számok formájában megadni, és alkalmazni a "Value Label" -t a kódokra. Mi a következõ kódokat alkalmaztuk: 0-kontroll, 1 - GdCl3 ip, 2 -GdCl3-iv.

Az egyszempontos variancia-analízis futtatása SPSS-ben: válasszuk a Statistics menüben a Compare Means almenüjében a One-Way Anova pontot. Az itt megjelenõ ablakokba a következõket kell beírni:

Adott átlagok, standard deviációk és az elemszámok esetén is futtatható az egyszempontos ANOVA, de ebben az esetben a parancs szintaxist kell használni, hogy hogyan, az a Syntax Reference-ben megtalálható.

A variancia-analízist az eredeti adatok logaritmusán végezzük el, mivel az eredeti adatok varianciái különböznek, mégpedig nagyobb átlaghoz nagyobb szórás tartozik.

Variable LNFVS

By Variable GDCL3

Analysis of Variance

Sum of Mean F F

Source D.F. Squares Squares Ratio Prob.

Between Groups 2 9.7554 4.8777 19.0953 .0000

Within Groups 26 6.6414 .2554

Total 28 16.3968

Standard Standard

Group Count Mean Deviation Error 95 Pct Conf Int for Mean

Grp 0 17 14.8837 .5233 .1269 14.6146 TO 15.1527

Grp 1 6 16.1187 .5224 .2133 15.5704 TO 16.6670

Grp 2 6 14.4130 .4233 .1728 13.9688 TO 14.8573

Total 29 15.0418 .7652 .1421 14.7507 TO 15.3329

GROUP MINIMUM MAXIMUM

Grp 0 13.8499 15.6718

Grp 1 15.4677 16.6959

Grp 2 13.8791 15.0440

TOTAL 13.8499 16.6959

Levene Test for Homogeneity of Variances

Statistic df1 df2 2-tail Sig.

.4378 2 26 .650

Multiple Range Tests: Scheffe test with significance level .05

The difference between two means is significant if

MEAN(J)-MEAN(I) >= .3574 * RANGE * SQRT(1/N(I) + 1/N(J))

with the following value(s) for RANGE: 3.67

(*) Indicates significant differences which are shown in the lower triangle

G G G

r r r

p p p

2 0 1

Mean GDCL3

14.4130 Grp 2

14.8837 Grp 0

16.1187 Grp 1 * *

A variancia-analízis feltételei közül a varianciák azonosságát a Levene teszttel ellenõriztük. Látható, hogy a p-érték 0.650, nem szignifikáns, így a varianciák azonosságára vonatkozó nullhipotézist elfogadjuk.

A kísérleti csoportok átlagaira vonatkozó összehasonlítás eredményeként az ANOVA táblázatban F=19.095, (2,26) szabadságfokokkal, a Sig mezõben 0.000 áll, azaz p<0.0001, tehát a kezelt és a kontroll csoportok között van szignifikáns különbség. A páronkénti hasonlítások eredményeképpen látható, hogy a GdCl3-ip csoport átlaga szignifikánsan különbözik mind a kontrolltól, mind a GdCl3-iv csoporttól.