A dokumentum szöveges verziója: AROTATE.TXT

Tetszőleges tengely körüli forgatás (elmélet)

• Hogyan lehet általános helyzetű síkban forgatni egy pontot, tehát van egy origón átmenő normálvektorral adott síkunk, aztán egy pontunk meg egy szögünk. Hogyan tovább???

A probléma megoldása a klasszikus Rodrigues-képlet:
(U vektor körül fi szöggel elforgatás transzformációs mátrixa)

Rot(U,fi)= Cos(fi)*I + (1-Cos(fi))[UoU] + Sin(fi)[Ux]

I az egységmátrix:    [ 1 0 0 ]
                      [ 0 1 0 ]
                      [ 0 0 1 ]

[UoU] = U-nak önmagával vett diadikus szorzata

          [axbx axby axbz]
( [AoB] = [aybx ayby aybz] , A=B=U )
          [azbx azby azbz] 

[Ux] = U-val való vektorszorzás transzformációs mátrixa

         [  0  -uz  uy ]
( [Ux] = [  uz  0  -ux ] )
         [ -uy  ux  0  ]


Ezután pl. egy P(px,py,pz) pont fi-vel való elforgatottja U körül:

P'(px',py',pz') = Rot(U,fi) * P(px,py,pz)

Tetszőleges tengely körüli forgatás (gyakorlat)

Számoljuk ki a transzformációs mátrixot:

a = Cos(fi)
b = 1-Cos(fi)
c = Sin(fi)

                [ 1 0 0 ]       [  ux2 uxuy uxuz ]       [  0  -uz  uy ]
Rot(U,fi) = a * [ 0 1 0 ] + b * [ uyux  uy2 uyuz ] + c * [  uz  0  -ux ]
                [ 0 0 1 ]       [ uzux uzuy  uz2 ]       [ -uy  ux  0  ]

Az eredmény:

[
a+b*ux2
b*uxuy-c*uz
b*uxuz+c*uy
]
[
b*uyux+c*uz
a+b*uy2
b*uyuz-c*ux
]
[
b*uzux-c*uy
b*uzuy+c*ux
a+b*uz2
]

Ez azonos a FvDFH könyv 227. oldalán található (5.97) képlettel:

[    ux2+Cosfi(1-ux2)     uxuy(1-Cosfi)-uzSinfi  uzux(1-Cosfi)+uySinfi  ]
[  uxuy(1-Cosfi)+uzSinfi    uy2+Cosfi(1-uy2)     uyuz(1-Cosfi)-yxSinfi  ]
[  uzux(1-Cosfi)-uySinfi  uyuz(1-Cosfi)+yxSinfi    uz2+Cosfi(1-uz2)     ]

Itt a megírt rutin is NASM szintaktikával:

%macro  ARotM33 2
        FSINCOS                  ;;Cos(fi) Sin(fi)
        FLD1                     ;;1 Cos(fi) Sin(fi)
        FSUB    ST0,ST1          ;;1-Cos(fi) Cos(fi) Sin(fi)
        FLD     QWORD [%2+z]     ;;uz b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+y]     ;;uy c*uz b a c
        FMUL    QWORD [%2+x]     ;;uxuy c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST2          ;;b*uxuy c*uz b a c
        FSUBRP  ST1,ST0          ;;b*uxuy-c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+y]     ;;uy b*uxuy-c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST4          ;;c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+z]     ;;uz c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FMUL    QWORD [%2+x]     ;;uxuz c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;b*uxuz c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FADDP   ST1,ST0          ;;b*uxuz+c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+x]     ;;ux b*uxuz+c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST0          ;;ux2 b*uxuz+c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;b*ux2 b*uxuz+c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FADD    ST0,ST4          ;;a+b*ux2 b*uxuz+c*uy b*uxuy-c*uz b a c
        FXCH    ST2              ;;b*uxuy-c*uz b*uxuz+c*uy a+b*ux2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.12];;b*uxuz+c*uy a+b*ux2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.13];;a+b*ux2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.11];;b a c
        FLD     QWORD [%2+z]     ;;uz b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+x]     ;;ux c*uz b a c
        FMUL    QWORD [%2+y]     ;;uyux c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST2          ;;b*uyux c*uz b a c
        FADDP   ST1,ST0          ;;b*uyux+c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+x]     ;;ux b*uyux+c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST4          ;;c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+z]     ;;uz c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FMUL    QWORD [%2+y]     ;;uyuz c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;b*uyuz c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FSUBRP  ST1,ST0          ;;b*uyuz-c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FLD     QWORD [%2+y]     ;;uy b*uyuz-c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST0          ;;uy2 b*uyuz-c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;b*uy2 b*uyuz-c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FADD    ST0,ST4          ;;a+b*uy2 b*uyuz-c*ux b*uyux+c*uz b a c
        FXCH    ST2              ;;b*uyux+c*uz b*uyuz-c*ux a+b*uy2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.21];;b*uyuz-c*ux a+b*uy2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.23];;a+b*uy2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.22];;b a c
        FLD     QWORD [%2+y]     ;;uy b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;c*uy b a c
        FLD     QWORD [%2+x]     ;;ux c*uy b a c
        FMUL    QWORD [%2+z]     ;;uzux c*uy b a c
        FMUL    ST0,ST2          ;;b*uzux c*uy b a c
        FSUBRP  ST1,ST0          ;;b*uzux-c*uy b a c
        FLD     QWORD [%2+x]     ;;ux b*uzux-c*uy b a c
        FMUL    ST0,ST4          ;;c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FLD     QWORD [%2+y]     ;;uy c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FMUL    QWORD [%2+z]     ;;uzuy c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;b*uzuy c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FADDP   ST1,ST0          ;;b*uzuy+c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FLD     QWORD [%2+z]     ;;uz b*uzuy+c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FMUL    ST0,ST0          ;;uz2 b*uzuy+c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FMUL    ST0,ST3          ;;b*uz2 b*uzuy+c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FADD    ST0,ST4          ;;a+b*uz2 b*uzuy+c*ux b*uzux-c*uy b a c
        FXCH    ST2              ;;b*uzux-c*uy b*uzuy+c*ux a+b*uz2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.31];;b*uzuy+c*ux a+b*uz2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.32];;a+b*uz2 b a c
        FSTP    QWORD [%1+M33.33];;b a c
        FCOMP   ST0
        FCOMPP
%endmacro

%macro  ARotM33 3
        FLD     QWORD [%3]       ;;fi
        ARotM33 %1,%2
%endmacro