A homogén egyenlet Ebben a részben az (87) egyenlet megoldásait fogjuk tanulmányozni. Itt az egyszerűbb írásmód kedvéért megoldás alatt értsük a rögzített (87) egyenlet megoldását. Mint majd látni fogjuk, a megoldások halmaza nagy rokonságot mutat egy sík vektorainak halmazával, , ,terével''. Például a megoldásokra érvényesek a következő állítások megfelelői: két síkbeli vektor bármely lineáris kombinációja e síkbeli, továbbá ha tekintünk két nem párhuzamos vektort, akkor a sík minden vektora egyértelműen előállítható e vektorok lineáris kombinációjaként. A megoldásokra vonatkozó rokon állítások alapvető fontosságúak: lényegében azt állítják, hogy elég két olyan megoldást ismerni, amelyek egymásnak nem konstansszorosai, s ekkor az összes megoldás könnyen, zárt alakban megkapható belőlük. Az alábbiakban ezen kijelentésünknek adunk pontos jelentést. Tétel. Legyen y1 és y2 megoldása (87)-nek, továbbá legyen c1 és c2 tetszőleges valós szám. Ekkor a c1y1+c2y2 lineáris kombináció szintén megoldása (87)-nek. Bizonyítás. Hasonlóan járhatunk el, mint az előző tételek bizonyításánál: (87) bal oldalába y helyére c1y1+c2y2-t be kell helyettesíteni, majd a derivált linearitását (azt, hogy összeg deriváltja a deriváltak összege és a deriválásból a konstans szorzó kiemelhető) felhasználva megkapjuk a jobb oldalt, 0-t.   Megjegyzés. A fenti tételben erősen kihasználtuk azt a tulajdonságot, hogy a differenciálegyenlet lineáris és homogén. Ezt illusztrálandó tekintsük a következő két példát. 1. ${y}^{\prime\prime}+\left({y}^\prime\right)^2=0.$ Ez a differenciálegyenlet nem lineáris. Behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az $$y=\ln(x)\quad\mbox{{és}}\quad y=\ln(x+1)$$ függvények megoldásai a differenciálegyenletnek, de összegük, $\tilde y=\ln(x^2+x)$ nem. 2. ${y}^{\prime\prime}+{y}^\prime=1.$ Ez a differenciálegyenlet lineáris, de nem homogén. Könnyen látható, hogy $$y=x\quad\mbox{{és}}\quad y=x-1$$ megoldásai a differenciálegyenletnek, de különbségük, $\tilde y=1$ nem. Tehát a homogén egyenlet két megoldásából mindig végtelen sok megoldást tudunk előállítani (hacsak nem azonosan 0 a két rendelkezésre álló megoldás). Felvetődik a kérdés, hogy milyen feltételek mellett kaphatjuk meg ily módon az összes megoldást. Ennek a kérdésnek a megválaszolásához hasznos bevezetni az alábbi fogalmat. Definíció. Legyen y1 és y2 két megoldás. Azt mondjuk, hogy ezek bázist alkotnak, ha nem létezik olyan , hogy y2(x)=cy1(x), vagy y1(x)=cy2(x) lenne minden x-re.   Most már kimondhatjuk a korábban beígért állítást. Ezt nem bizonyítjuk be, tekintettel annak elég hosszadalmas voltára, bár a bizonyítás elemi. Tétel. A megoldások között bázis mindig létezik. Továbbá ha y1 és y2 bázist alkotnak, akkor lineáris kombinációik alakjában az összes megoldás felírható.   Most már csak az a kérdés, hogy hogyan kapjunk meg egy bázist a megoldások között. Ha az egyenlet együtthatói állandók, tehát $p(x)\equiv p\in{\rm I\! R}$ és $q(x)\equiv q\in{\rm I\! R}$, akkor egy bázist könnyen fel tudunk írni. Nem állandó esetben ez már csak akkor sikerül, ha valahonnan (pl. ügyes tippeléssel) ismerünk egy megoldást és ehhez egy másikat, amely- lyel bázist alkot, egy a homogén (87) egyenletből származó elsőrendű, lineáris egyenlet megoldásával nyerünk. A második megoldás ilyetén megkeresését rendcsökkentésnek nevezik. Lényege az, hogy ha y1 egy ismert megoldás, akkor y2(x)-et u(x)y1(x) alakjában keressük. Visszahelyettesítés után u-ra elsőrendű differenciálegyenletet kapunk.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával