A differenciálegyenletek fogalma és osztályozása

Differenciálegyenletnek azokat az egyenleteket nevezzük, amelyekben az ismeretlen egy egy- vagy többváltozós függvény és az egyenlet tartalmazza ezen függvény valamilyen deriváltját is. Például az

egyenletek differenciálegyenletek. Ha félreértésre nem vezet, akkor - szokás szerint - az ismeretlen függvény és deriváltjai argumentumát nem írjuk ki, tehát pl. (1)-ben az y=y(x) és ${y}^\prime={y}^\prime(x)$ rövidítéseket használtuk. Amint azt (2)-ben is látjuk, szokás a derivált tört alakú jelölése is: $\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}={y}^\prime$, $\frac{\displaystyle d^2y}{\displaystyle dx^2}={y}^{\prime\prime}$, stb., továbbá a parciális deriváltakra az alsó indexes jelölésmód: ennek példáját (5)-ben látjuk: $u_t=\frac{\displaystyle\partial u}{\displaystyle\partial t}$,$u_{xx}=\frac{\displaystyle\partial^2 u}{\displaystyle\partial x^2}$ (így (4) és (5) ugyanazt a differenciálegyenletet jelenti).

Az ismeretlen függvény deriváltjai közül az előforduló legmagasabb rendű derivált rendjét a differenciálegyenlet rendjB<>enek nevezzük. Így (1) elsőrendű, (3) harmadrendű, (2), (4) és (5) másodrendű.

Ha az ismeretlen függvény egyváltozós, akkor a differenciálegyenletet közönséges differenciálegyenletnek, míg ha többváltozós (így a deriváltja(i) parciális deriváltak), akkor parciális differenciálegyenletnek nevezzük. Eszerint (1), (2), (3) közönséges, míg (4) parciális.

A differenciálegyenletek között a lineáris differenciálegyenletek fontos szerepet töltenek be, mert megoldhatóságuk eldöntése és a megoldásuk felírása alaposan tanulmányozott és viszonylag könnyen elvégezhető. Lineárisnak nevezünk egy differenciálegyenletet, ha benne az ismeretlen függvény és annak deriváltjai nem fordulnak elő sem egy szorzat (vagy hányados) mindkét tényezőjében, sem elsőfokú polinomtól különböző függvény belső függvényeként.Ellenkező esetben nemlineáris differenciálegyenletről beszélünk. Így (1), (4), (5) lineáris, míg (2), (3) nemlineáris.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával