Példák differenciálegyenletek előfordulására

Ebben a szakaszban példákat mutatunk olyan fizikai, mérnöki, (a továbbiakban röviden fizikai) feladatokra, amelyek matematikai modellezésénél a differenciálegyenletek hasznos szerepet tölthetnek be.

Differenciálegyenletekhez mindig valamilyen, a feladathoz kapcsolódó fizikai törvényszerűség, megfigyelés, tapasztalati tény matematikai megfogalmazásával jutunk. Egy függvény deriváltja(i) számos esetben fizikai jelentéssel bír(nak), hiszen a függvény deriváltja értelmezhető úgy mint a tekintett függvény értékének megváltozási sebessége. Például, ha az f függvény egy egyenes vonalon mozgó test távolságát írja le a pályája egy pontjától az idő függvényében, akkor ${f}^\prime$a test sebessége, ${f}^{\prime\prime}$ a test gyorsulása.

1. Szabadesés légellenállással

Feladat: írjuk le egy szabadon eső test mozgását, ha a légellenállástól nem tekinthetünk el (például ha egy ejtőernyős ugrását tanulmányozzuk)!

Jelölje x(t) a testnek (ejtőernyőnek) a Föld felszínétől a t időpontban való távolságát. Ezt az x függvényt kell meghatároznunk.

A megoldás során Newton 2. törvényét fogjuk alkalmazni, miszerint (vázlatosan) a test m tömegének és gyorsulásának szorzata egyenlő a rá ható erők eredőjével. A testre két erő hat: egy mg nagyságú súlyerő és egy légellenállási erő, amely a mozgás irányával ellentétes irányú és nagysága - a mérések szerint - a sebesség négyzetével arányos.

Ezért az alábbi differenciálegyenletet kapjuk:  

$$m\frac{d^2 x}{d t^2}=mg-b\left(\frac{d x}{d t}\right)^2,$$ (1)

ahol b csak a zuhanó testtől, leginkább annak alakjától függő állandó. Megállapíthatjuk, hogy (6) egy másodrendű, nemlineáris differenciálegyenlet.

Könnyű belegondolni, hogy a mozgás lefolyását befolyásolja az ejtőernyős kiugráskori magassága és függőleges irányú sebessége. Így a differenciálegyenlethez kiegészítésképpen társul x(0) és ${x}^\prime(0)$valamilyen megadott értéke.

2. Elektromos áramkörök 

Egy ellenállást, egy tekercset és egy kondenzátort sorosan kapcsoltunk egy E=E(t) volt elektromotoros erejű áramforrással. (E(t)-ben a t azt jelzi, hogy az áramforrás ereje változik a t-vel jelölt idő függvény ében).

Meghatározandó a t pillanatban az áramkörben folyó áram I(t) erőssége!

Az egyes áramköri elemeken az I nagyságú áram hatására bekövetkező feszültségesések az alábbi, villamosságtani kísérletekkel igazolt törvényszerűségeket követik.

• Az ellenállás két végpontja közötti U_ell. feszültségesés egyenesen arányos az átfolyó áram erősségével. Ez Ohm törvénye. Az arányossági együtthatót R-rel jelölve ez a törvény az

   

  U_ell.=R I (2)

  alakban írható fel.
• A tekercs két végpontja közötti U_tek. feszültségesés egyenesen arányos az átfolyó áram megváltozási sebességével, $\frac{\displaystyle dI}{\displaystyle dt}$-vel. Az arányossági tényezőt L-lel jelölve az  

  $$U_{tek.}=L\frac{dI}{dt}$$ (3)

  összefüggéshez jutunk.
• A kondenzátor két végpontja közötti U_kond. feszültségesés egyenesen arányos a kondenzátor által tárolt Q töltéssel. Így - az arányossági tényezőt (történeti okok miatt) $\frac{\displaystyle1}{\displaystyle C}$-vel jelölve - az  

  $$U_{kond.}=\frac1C Q$$ (4)

  egyenlőséghez jutunk.

Az említett tipikus jelek miatt az ilyen áramköröket RLC-köröknek is szokták nevezni. (Értelemszerűen, ha például tekercs nincs az áramkörben, akkor RC-körről beszélnek.)

Felírva Kirchhoff huroktörvényét áramkörünkre az

 

U_ell.+U_tek.+U_kond.=E (5)

összefüggést nyerjük. (10)-et összevetve az (7), (8), (9) egyenletekkel az  

$$L\frac{dI}{dt}+RI+\frac1C Q=E(t)$$ (6)

egyenletet kapjuk. Ebben I-n kívül még az ismeretlen Q is szerepel. Tőle úgy tudunk megszabadulni, hogy figyelembe vesszük: az áramerősség éppen a töltés megváltozási sebessége, azaz  

$$I(t)=\frac{dQ}{dt}.$$ (7)

Így ha deriváljuk (11) mindkét oldalát t szerint, akkor - (12)-t felhasználva - az  

$$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac1C I(t)=\frac{dE}{dt}$$ (8)

differenciálegyenletet kapjuk. Ez másodrendű, lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenlet.

Megjegyezzük, hogy (11)-ből kiindulva Q-ra hasonló differenciálegyenlet et kaphatunk. Valóban, ha differenciáljuk (12) mindkét oldalát, akkor a  

$$\frac{dI}{dt}=\frac{d^2Q}{dt^2}$$ (9)

egyenlőséghez jutunk. (12)-t és (14)-t (11)-be behelyettesítve Q-ra az  

$$L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac1C Q(t)=E(t)$$ (10)

differenciálegyenletet nyerjük. Észrevehetjük, hogy ez csak a jobb oldalban különbözik az I-re felírt (13) differenciálegyenlettől. Így ha nincs áramforrás az áramkörben (mondjuk kikapcsoltuk), akkor az áramerősségre és a töltésre vonatkozó differenciálegyenlet ugyanaz. I és Q mégsem lesz általában egyenlő. Ez annak köszönhető (mint majd később, az egyenletek megoldása során látni fogjuk), hogy a kezdeti (kikapcsoláskori) számszerű értéke I-nek és Q-nak, ${I}^\prime$-nek és ${Q}^\prime$-nek általában nem ugyanaz.

3. Pontszerű test hőmérséklet-változása  

Tekintsünk egy pontszerű testet, amelyet állandó hőmérsékletű közeg vesz körül. Feladat: határozzuk meg a test hőmérsékletét leíró függvényt, ha ismerjük a test kezdeti hőmérsékletét!

Jelöljük a környezet (állandó) hőmérsékletét T_k-val, a test t időpontbeli hőmérsékletét T(t)-vel és az ismert, t=0-beli hőmérsékletét T₀-lal!

A Newton-féle hűlési törvény szerint a test hőmérsékletének változási sebessége, $\frac{\displaystyle d T}{\displaystyle d t}$ arányos a test és környezete hőmérsékletének különbségével, T-T_k-val. Így T-re a  

$${T}^\prime(t)=-\kappa (T(t)-T_k)$$ (11)

differenciálegyenletet kapjuk, ahol $\kappa$ rögzített, a test anyagára és alakjára jellemző pozitív konstans. A jobb oldalon szereplő arányossági tényezőnek, $-\kappa$-nak negatívnak kell lennie, hogy az egyenlet visszaadja a folyamatnak azt a tulajdonságát, miszerint a test T hőmérséklete csökken (azaz deriváltja, ${T}^\prime$ negatív), ha a környezet hidegebb (azaz T-T_k>0) és melegszik, ha a környezet a melegebb.

Így a T függvény meghatározásához rendelkezésünkre áll az (16) differenciálegyenlet. Ezen kívül a T függvénynek ismerjük még egy rögzített pontjában az értékét, hiszen tudjuk, hogy kezdetben a test hőmérséklete T₀:

 

T(0)=T₀. (12)

Ezzel a fizikai feladatot az (16) differenciálegyenlettel és az (17) kezdeti feltétellel leírtuk. Később látni fogjuk, hogy e matematikai feladatnak egyértelmű megoldása létezik.

4. A hővezetés egyenlete 

Adott egy rúd, amely elhanyagolható vastagságú a hosszúságához képest. Feladatunk az, hogy leírjuk a rúd hőmérsékletének időbeli változását. Ezt a problémát nevezik egydimenziós hővezetési feladatnak.

Válasszunk meg egy koordinátarendszert oly módon, hogy a rúd egyik végpontja a -ba, a másik az L pontba essen (L a rúd hossza). Jelöljük u(t,x)-szel a rúd x koordinátájú pontjának a t időpontbeli hőmérsékletét. Az idő mérését kezdjük a t=0 pillanatban. Így az u=u(t,x) függvény értelmezési tartománya a

$$\left\{(t,x)\in{\rm I\! R}^2\,\vert\,t\ge0,\quad 0\le x\le L\right\}$$

halmaz.

Tehát u leírása a feladat.

Fizikai kísérletek azt mutatják, hogy a hő áramlásának sebessége arányos a hőmérsékletet leíró u függvény x-szerinti parciális deriváltjával. Ez annak a mindenki által tapasztalt ténynek a pontosabb megfogalmazása, hogy a hő a magasabb hőmérsékletű helyről áramlik az alacsonyabb hőmérsékletű hely felé. Képletben  

$$\Phi=-k\frac{\partial u}{\partial x},$$ (13)

ahol $\Phi=\Phi(t,x)$ a hőáram sebessége, k a rúd hővezetési együttható ja. k x-től való függése azt jelenti, hogy a rúd hővezetési szempontból nem homogén (egyik része jobban vezeti a hőt, mint egy másik, pl. a rúd két különböző anyagból van összehegesztve), t-től való függése arra utal, hogy a rúd hővezetési képessége az idő előrehaladtával változik. Gyakori, hogy k függ u-tól: ez az az eset, amikor a hőmérséklet nagysága kihatással van az anyag hővezetési képességére (mint pl. a villanykörte izzószála esetében). Homogén, időben változatlan minőségű rúd esetén k konstans.

Megjegyezzük, hogy az (18) összefüggést Fick-törvénynek is szokták nevezni.

Szemeljük ki a rúd egy tetszőleges, összefüggő D tartományát és legyen [a,b] a D-nek megfelelő részintervallum [0,L]-ben! Számítsuk ki kétféleképpen a t időpontban egy elemi időegység alatt D-ből távozó hő mennyiségét!

D jobb oldali végén $\Phi$ definíciója szerint $\Phi(t,b)$(szorozva az elemi időtartammal), bal oldali végén $-\Phi(t,a)$, azaz összesen  

$$\Phi(t,b)-\Phi(t,a)$$ (14)

mennyiségű hő távozik. Alakítsuk tovább az (19) alatti különbséget a Newton-Leibniz-formula és (18) felhasználásával!

Másrészt, ha a D által tárolt hőt Q-val jelöljük, akkor a D-ből kiáramló hő mennyisége  

$$-\frac{d Q}{d t}$$ (15)

(szorozva az elemi időtartammal). Q fizikai megfontolásokból a  

$$Q(t)=\int_a^b{\sigma(x)\varrho(x) u(t,x)\,dx}$$ (16)

alakban írható fel, ahol $\varrho=\varrho(x)$ a rúd tömegsűrűség-függvénye, $\sigma=\sigma(x)$ pedig a rúd anyagának hőtároló-képességére jellemző arányossági szám.

(21)- és (22)-ből az következik, hogy a D-ből kiáramló hő mennyisége

(szorozva az elemi időtartammal).

(20) és (23) bal oldala egyenlő, ezért a jobb oldalaknak is egyenlőknek kell lenniük, így a

$$\int_a^b\frac{\partial}{\partial x}\left(k(t,x)\frac{\partia... ...^b{\sigma(x)\varrho(x) \frac{\partial u(t,x)}{\partial t}\,dx},$$

vagy átrendezve az  

$$\int_a^b\left(\sigma(x)\varrho(x) \frac{\partial u}{\partial... ...eft(k(t,x)\frac{\partial u}{\partial x}(t,x)\right)\right) dx=0$$ (17)

egyenlőséget kapjuk. Ez fenn kell, hogy álljon tetszőleges D-re, azaz tetszőleges $[a,b]\subset[0,L]$-re. Az integrandus folytonossága esetén ez csak úgy lehet, ha az integrandus azonosan 0.

Így (24)-ból a

$$\sigma(x)\varrho(x) \frac{\partial u(t,x)}{\partial t} -\fr... ...tial x}\left(k(t,x)\frac{\partial u}{\partial x}(t,x)\right)=0,$$

azaz a  

$$\sigma(x)\varrho(x) \frac{\partial u}{\partial t}(t,x)=\frac... ...rtial x} \left(k(t,x)\frac{\partial u}{\partial x}(t,x)\right)$$ (18)

differenciálegyenletet kapjuk, amelyet hővezetési egyenletnek szoktak nevezni.  

Amennyiben , és k konstansok (azaz a rúd anyaga hővezetés szempontjából teljesen homogén), akkor a hővezetési egyenlet a  

$$\frac{\partial u}{\partial t}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\,\,\,\,\,\, c^2:=\frac{k}{\sigma\varrho}$$ (19)

alakot ölti.

Fizikai meggondolásból világos, hogy a hőmérséklet időbeni alakulása függ attól, hogy kezdetben milyen volt a hőmérséklet eloszlása (ennek megfogalmazása lesz a kezdeti feltétel), és attól is, hogy a rúd milyen kapcsolatban van a külvilággal. A szokásos feltételezés az, hogy a külvilág csak a peremen, azaz a végpontokban hat a rúdra. Ezt a függést az úgynevezett peremfeltételek írják le. Ezeket aszerint különböztetjük meg, hogy a perem hőmérsékletét adják-e meg (1. fajú feltétel), a peremen lévő hőáramlást (2. fajú feltétel), vagy ezeket vegyesen (3. fajú feltétel).

Például ha tudjuk, hogy a rúd egyik végén állandóan $300^\circ$K a hőmérséklet és a rúd másik vége szigetelt és így ott nincs kifelé hőáramlás, akkor az első végpontra az

$$u(t,0)=300,\qquad\qquad t\ge0$$

elsőfajú, a másik végpontra a

$$\frac{\partial u}{\partial x}(t,L)=0,\qquad\qquad t\ge0$$

másodfajú feltételt írhatjuk fel.

Ha a stacionárius hővezetési feladattal van dolgunk, azaz feltételezzük, hogy a hőmérséklet az időben nem változik, akkor a hővezetési egyenletünkben $\frac{\displaystyle\partial u}{\displaystyle\partial t}=0$ írandó, így a stacionárius hővezetés egyenlete:  

$$\frac{d }{d x}\left(k(t,x)\frac{d u}{d x}(t,x)\right)=0.$$ (20)

Homogén rúd esetén a  

$$\frac{d^2 u}{d x^2}=0$$ (21)

közönséges differenciálegyenleteket kapjuk.

Végezetül megjegyezzük, hogy testekben lejátszódó hővezetésre hasonló differenciálegyenlet jön ki, mint (25), vagy (26), illetve stacionárius esetben (27), vagy (28). Most csak a homogén testben lejátszódó hővezetés differenciálegyenletét írjuk fel:  

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 ... ...^2 u}{\partial z^2},\,\,\,\,\,\, c^2:=\frac{k}{\sigma\varrho},$$ (22)

ahol u=u(t,x,y,z) jelöli a test (x,y,z) koordinátájú pontjának a t időpontban való hőmérsékletét, illetve stacionárius esetben  

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0.$$ (23)

Ezek levezetése lényegében ugyanaz, mint egy dimenzióban volt (a rúd esetén), csak az (20) felírásához használt Newton-Leibniz-formula helyett a neki megfelelő, térfogati és felületi integrálok között kapcsolatot létesítő Gauß -féle divergencia-tételt kellene alkalmazni.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával