Differenciálegyenletekkel kapcsolatos feladatok kitűzése  

Az előző pontban láthattuk, hogy egy fizikai problémához tartozó differenciálegyenlet mellé természetes módon társulhatnak az ismeretlen függvény re vonatkozó egyéb feltételek.

Így például a pontszerű test hőmérsékletét leíró differenciálegyenlet mellé felírhatjuk a testnek a megfigyelés kezdetekor mért hőmérsékletét, az RLC-áramkör töltését leíró (15) differenciálegyenlethez a kezdeti töltést és áramerősséget. Ezek mindegyike olyan feltétel az ismeretlen függvényre nézve, amely egy adott pontban megadja az értékét (ezt olyan fizikai feladatoknál figyeltük meg, ahol a megfelelő differenciálegyenlet elsőrendű), vagy egy pontjában az ismeretlen függvénynek és deriváltjának is az értékét (ez bizonyos másodrendű differenciálegyenleteknek megfelelő feladatok esetén fordul elő). Ezért (is) érdemes bevezetni a differenciálegyenletekhez tartozó kezdetiérték-feladat fogalmát.

Definíció. Elsőrendű (közönséges) differenciálegyenletekre vonatkozó kezdetiérték-feladatnak az  

$$\left.\begin{array} {rcl} {y}^\prime &=&f(x,y), \\ y(x_0)&=&y_0 \end{array}\right\}$$ (24)

alakra hozható feladatokat nevezzük, ahol f adott kétváltozós, valós függvény és y₀ adott valós szám.  $\Box$

Definíció. Másodrendű (közönséges) differenciálegyenletekre vonatkozó kezdetiérték-feladatnak az  

$$\left.\begin{array} {rcl} {y}^{\prime\prime}&=&f(x,y,{y}^\pr... ...0)&=&y_0, \\ {y}^\prime(x_0)&=&{y}^\prime_0 \end{array}\right\}$$ (25)

alakra hozható feladatokat nevezzük, ahol f adott háromváltozós, valós függvény és y₀, ${y}^\prime_0$ adott valós számok.  

Bizonyos közönséges differenciálegyenletekhez más típusú mellékfeltételek társulnak. Ilyen például a stacionárius hővezetés feladata, ahol a természetes mellékfeltétel az volt, hogy a rúd két végpontján adtunk feltételeket az ismeretlen u függvényre (lásd a 10. oldalt). Ilyen feltétel gyakran fordul elő másodrendű differenciálegyenletekkel kapcsolatban, így érdemes bevezetni a következő definíciókat.

Definíció. Másodrendű (közönséges) differenciálegyenletekre vonatkozó elsőfajú peremérték feladatnak az  

$$\left.\begin{array} {rcl} {y}^{\prime\prime}(x)&=&f(x,y(x),{... ...x\le x_1, \\ y(x_0)&=&y_0, \\ y(x_1)&=&y_1\end{array}\right\}$$ (26)

alakra hozható feladatokat nevezzük, ahol f adott háromváltozós, valós függvény és x₀, x₁, y₀, y₁ adott valós számok.  

Definíció. Másodrendű (közönséges) differenciálegyenletekre vonatkozó másodfajú peremérték feladatnak az  

$$\left.\begin{array} {rcl} {y}^{\prime\prime}(x)&=&f(x,y(x),{... ...^\prime_0, \\ {y}^\prime(x_1)&=&{y}^\prime_1\end{array}\right\}$$ (27)

alakra hozható feladatokat nevezzük, ahol f adott háromváltozós, valós függvény és x₀, x₁, , ${y}^\prime_1$ adott valós számok.  

A parciális differenciálegyenletekhez tartozó mellékfeltételek lényegében az előbb definiált kezdeti és peremfeltételek ötvözetei. Mi most csak az egy dimenziós hővezetési egyenlethez kapcsolódó első- és másodfajú peremfeltételekkel rendelkező vegyes feladatok definícióját adjuk meg.

Definíció. A hővezetési differenciálegyenlethez tartozó vegyes kitűzésű, elsőfajú peremfeltételekkel rendelkező feladatnak a

$$\left.\begin{array} {rcll} \sigma\varrho\frac{\displaystyle\... ...hi_1(t),\qquad u(t,L)=\varphi_2(t), & t\ge0 \end{array}\right\}$$

alakban írható feladatot nevezzük.

Másodfajú peremfeltételekkel rendelkező, vegyes kitűzésű feladatnak egy ugyanilyen feladatot nevezünk, csak a feltételek közül az utolsó sor kicserélendő a

$$\frac{\partial u}{\partial x}(t,0)=\psi_1(t),\qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t,L)=\psi_2(t)$$

sorra.  

Miután kitűztük a feladatainkat, fogalmazzuk meg pontosan, hogy mit értünk differenciálegyenletek, illetve az előbb definiált kezdeti és peremérték feladatok megoldásán.

Definíció. Azt mondjuk, hogy az y=y(x) függvény megoldása az  

$${y}^\prime=f(x,y)$$ (28)

differenciálegyenletnek, ha ${\cal{D}}_y$ értelmezési tartománya egy (esetleg végtelen) intervallum és ezen intervallum minden x pontját a hozzátartozó y=y(x), függvényértékkel (35)-be helyettesítve azonosságot kapunk.  

 

Megjegyezzük, hogy a definíció magába foglalja az y függvény deriválhatóságát és azt, hogy minden $x\in{\cal{D}}_y$-ra (x,y(x)) eleme f értelmezési tartományának.

Definíció. Azt mondjuk, hogy y kielégíti a

kezdetiérték-feladatot, ha y megoldása az (36) differenciálegyenletnek, értelmezve van x₀ egy környezetében és teljesíti az (37) kezdeti feltételt.  

Gyakran találkozunk olyan differenciálegyenletekkel, amelyekhez találunk egy paraméter(eke)t tartalmazó képletet, mely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a paraméter(ek) adott intervallum(ok)ból való választásai esetén előálló formulák a differenciálegyenlet összes megoldását megadják. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a paramétereket tartalmazó képlet a differenciálegyenlet általános megoldása.  

Így például az a kijelentés, miszerint az ${y}^\prime=y$ differenciálegyenletnek az általános megoldása $y=ce^x,\quad c\in{\rm I\! R}$ az azt jelenti, hogy minden egyes c valós szám esetén az y=ce^x függvény megoldása a differenciálegyenlet nek és más megoldása nincs is, mint azok a függvények, melyek valamilyen c valós számmal ce^x alakra hozhatók.

Amikor a differenciálegyenlet csak egy bizonyos megoldásáról beszélünk, akkor azt - az általános megoldástól megkülönböztetendő - a differenciálegyenlet partikuláris megoldásának nevezzük. 

Teljesen hasonlóan mondhatók ki az

$${y}^{\prime\prime}=f(x,y,{y}^\prime)$$

alakú másodrendű differenciálegyenletek, illetve a hozzájuk kapcsolódó (32) kezdeti és (33), (34) peremérték feladatok megoldására vonatkozó definíciók, így azokat az olvasóra bízzuk.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával