Egy hibabecslés Most bizonyítás nélkül ismertetünk egy tételt, amely segítségünkre lehet tetszőleges közelítő megoldás, így a hatványsor-módszerrel kapott Taylor-polinom hibájának megbecslésében is. Tétel.  Tekintsük az   kezdetiérték-feladatot és legyen $D\subset D_f$ olyan tartomány, amelyen f folytonos és $$\big{\vert}\frac{\partial f}{\partial y}\big{\vert}\le L,$$ továbbá $(x_0,y_0)\in D$. Ha z olyan függvény, melynek értelmezési tartománya tartalmazza az I intervallumot, grafikonjának I feletti része D-ben halad (azaz $\{ (x,z(x))\in{\rm I\! R}^2\,\vert\,x\in I\}\subset D$) és létezik hozzá $\varepsilon_1,\varepsilon_2\in{\rm I\! R}$, hogy egyaránt teljesül, akkor   $$\{ (x,y)\in{\rm I\! R}^2\,\vert\,x\in I, \vert y-z(x)\vert\... ...varepsilon_2\vert x-x_0\vert)e^{L\vert x-x_0\vert}\,\}\subset D$$ (107) esetén (123) (D-ben egyértelmű) y megoldására és a z közelítésre érvényes az   $$\vert y(x)-z(x)\vert\le(\varepsilon_1+\varepsilon_2\vert x-x_0\vert)e^{L\vert x-x_0\vert}\,\}$$ (108) becslés minden pontban.   Nézzünk meg egy példát a tétel alkalmazására!   2-1. kidolgozott feladat. A 4.1-1. kidolgozott feladatban már vizsgáltuk az kezdetiérték-feladatot és ott a pontos y megoldás közelítésére a $T_4(x)=1+x^2+\frac{x^4}{2}$ polinomot kaptuk. Becsüljük meg T4 legnagyobb eltérését y-tól a [-0.4,0.4] intervallumon! Megoldás: Feladatunkban a tételbeli jelöléseknek $$f(x,y)=2xy,\quad z(x)=T_4(x)$$ felel meg. D megválasztása lenne a következő lépés. Ebben két különböző érdek játszik szerepet: egyrészt D-t minél kisebbre kell választanunk, hogy $\big{\vert}\frac{\displaystyle\partial f}{\displaystyle\partial y}{\vert}$ maximumára minél kisebb L becslés jöjjön ki, ami azért fontos, mert a (125) alatti hibabecslés, azaz a jobb oldal L növekedtével rohamosan, exponenciálisan nő. Másrészt, D-t elég nagyra kell választani, hogy (124) is teljesüljön és ezt annál könnyebb elérni, minél nagyobb D. Legyen most $$I=(-\frac12,\frac12),\quad D=I\times{\rm I\! R}=\{(x,y)\in{\rm I\! R}^2\,\big{\vert}\,x\in I,\,y\in{\rm I\! R}\}.$$ Ekkor világos, hogy a (124) feltétel teljesül, hiszen D , ,y-irányban végtelen''. Nézzük meg, nem kapunk-e túl nagy számot emiatt L-re. $$\big{\vert}\frac{\partial f}{\partial y}\big{\vert}=\vert 2x\vert\le2\frac12=1\quad I\mbox{-n},$$ ezért L=1 jó választás. Azt is látjuk, hogy ebben a feladatban nem okozott rosszabb becslést D-re az, hogy D-t y-irányban túl nagyra választottuk, mert most nem függött y-tól. Keressünk megfelelő $\varepsilon_1$-et és $\varepsilon_2$-t! Mivel z(0)-y(0)=0, ezért $\varepsilon_1=0$ jó választás. Továbbá $$\vert f(x,z(x))-{z}^\prime(x)\vert=\vert 2x(1+x^2+\frac{x^4}{2})-(2x+2x^3)\vert=\vert x\vert^5,$$ és mivel az x5 függvény monoton növő $[0,\frac12]$-en, így legnagyobb értékét éppen a végpontjában veszi fel, ezért $\varepsilon_2=(1/2)^5=1/32$ megfelelő választás. Így (125)-nek megfelelően $$\vert y(x)-T_4(x)\vert\le\frac1{32}\vert x\vert e^{\vert x\vert}\quad\mbox{{minden $x\in I$-re}}\quad.$$ Az xex függvény a nemnegatív félegyenesen szigorúan növekvő, ezért $$\vert y(x)-T_4(x)\vert\le\frac1{32}\,\frac12e^{\frac12}<0.0258,$$ azaz a legnagyobb hiba kisebb, mint 0.0258.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával