Az ${y}^{\prime\prime}=f(y,{y}^\prime)$ eset

Ez tehát az az eset, amikor a független változó, x nem szerepel a jobb oldalon. Ez adja az ötletet, hogy próbáljuk y-t tekinteni független változónak és vele fejezni ki -t és ${y}^{\prime\prime}$-t.

Tudjuk, hogy ha y szigorúan monoton egy intervallumon, akkor itt bármely más függvény felírható az ő függvényeként, így létezik olyan p függvény -höz (y-nak minden egyes szigorú monotonitási intervallumán), hogy  

$${y}^\prime=p(y).$$ (89)

Fejezzük ki -t is y és p segítségével! Kapjuk  

$${y}^{\prime\prime}=\frac{d{y}^\prime}{dx}=\frac{dp(y)}{dx}={p}^\prime(y){y}^\prime={p}^\prime(y)p(y).$$ (90)

A (104) és (105) alatti összefüggéséket behelyettesítve a megoldandó

$${y}^{\prime\prime}=f(y,{y}^\prime)$$

egyenletbe p-re nézve a  

$${p}^\prime(y)p(y)=f(y,p(y))$$ (91)

elsőrendű differenciálegyenletet kapjuk. Ennek p-re való megoldása után még meg kell oldanunk az y-ra vonatkozó, szétválasztható változójú (104) egyenletet.

 

2-1. kidolgozott feladat. Oldjuk meg a  

$$\left.\begin{array} {rcl} -{y}^{\prime\prime}(x)&=&x(1-x),\qquad 0\le x\le 1, \\ y(0)&=&0, \\ y(1)&=&0\end{array}\right\}$$ (92)

peremérték feladatot!

Megoldás: Először a differenciálegyenletnek keressük meg az általános megoldását. Követve a 3.2.1 alfejezetben leírtakat

ahol c₁ és c₂ tetszőleges valós számok.

A peremérték feladat megoldását úgy kapjuk meg, hogy az általános megoldás (108) alatti képletében megválasztjuk a c₁ és c₂ integrációs állandók értékét az y(0)=0, y(1)=0 feltételeknek megfelelően.

ahonnan

$$c_1=\frac{1}{12}\quad\mbox{{és}}\quad c_2=0.$$

Tehát a (107) peremérték feladatnak egy megoldása van:

$$y(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{12}.$$

 

2-2. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az  

$$\left.\begin{array} {rcl} {y}^{\prime\prime}&=&e^y, \\ y(0)&=&0, \\ {y}^\prime(0)&=&2 \end{array}\right\}$$ (93)

kezdetiérték-feladatot!

Megoldás: A 3.2.3 szakaszban mondottaknak megfelelően szorozzuk be a differenciálegyenlet mindkét oldalát -vel, majd integráljunk x szerint! Így kapjuk:

Egyszerűbb formulákat kapunk, ha a kezdeti feltételek segítségével már most kiszámítjuk c₁ értékét. (110)-ben elvégezve az x=0 helyettesítést kapjuk

2²=2e⁰+c₁,

ahonnan

c₁=0.

Ezért (110) egyenértékű az

$$\left(({y}^\prime(x))^2\right)=2e^y,$$

azaz az

$${y}^\prime=\sqrt{2}e^{y/2}$$

szétválasztható változójú differenciálegyenlettel. Ezt a már tanult módon megoldva

Innen az y(0)=0 feltételt használva c₂=-2. Így a kezdetiérték-feladat megoldására rendezés után az

$$y(x)=-2\ln(1-\frac{1}{\sqrt{2}}x)$$

adódik.

 

2-3. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az  

$$(2x-5){y}^\prime=(x-3){y}^{\prime\prime}$$ (94)

differenciálegyenletet!

Megoldás: Mivel az egyenlet nem tartalmazza explicit módon az ismeretlen y függvényt, ezért az egyenlet első fokú -re nézve. Az egyszerűbb írásmód kedvéért - mint a 3.2.2 szakaszban - vezessük be az

$$p=p(x):={y}^\prime(x)$$

jelölést. Ezzel az egyenlet a

$$(2x-5)p=(x-3){p}^\prime$$

alakot ölti. Vegyük észre, hogy ez egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Ezt megoldva a szokásos módon:

ahol c tetszőleges valós szám.

Ezért az eredeti, (111) differenciálegyenlet y megoldására

$${y}^\prime=c_2e^{2x}(x-3).$$

Ebből integrálással felírhatjuk y-t:

 

2-4. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az  

$$\left.\begin{array} {rcl} {y}^\prime +\left(\frac{y}{{y}^\pr... ...e}&=&0, \\ y(0)&=&8, \\ {y}^\prime(0)&=&0 \end{array}\right\}$$ (95)

kezdetiérték-feladatot!

Megoldás: Mivel a differenciálegyenlet nem függ explicit módon x-től, ezért úgy járhatunk el, ahogy a 3.2.4 szakaszban írtuk. Legyen tehát p olyan függvény, hogy ${y}^\prime=p(y)$; ekkor ${y}^{\prime\prime}={p}^\prime(y)p(y)$.

p-t használva differenciálegyenletünk a

$$p+(y+p)\frac{{p}^\prime p}{p}=0,$$

azaz a  

$$p+(y+p){p}^\prime=0$$ (96)

alakot ölti. Erről megállapíthatjuk, hogy egzakt, továbbá homogén is. Így két megoldási mód kínálkozik, mi most az egzakt egyenletek megoldási módszerét alkalmazzuk.

(113) valóban egzakt, hiszen

$$r=\frac{\partial}{\partial p}(p)-\frac{\partial}{\partial y}(y+p)=1-1=0.$$

F-et fogjuk most meghatározni.

$$\frac{\partial F}{\partial y}=p,\quad\mbox{{ezért}}\quad F=\int p\,dy=py+c_1(p);$$

$$\frac{\partial F}{\partial p}=y+p,\quad\mbox{{ezért}}\quad F=\int (y+p)\,dp=yp+\frac{p^2}{2}+c_2(y).$$

Láthatjuk, hogy a

$$c_1(p)=\frac{p^2}{2},\qquad c_2(y)=0$$

választással egy megfelelő F függvényt kapunk. Ez

$$F(y,p)=F=py+\frac{p^2}{2}.$$

Most felírhatjuk (113) megoldását, implicit alakban:  

$$py+\frac{p^2}{2}=c,\qquad c\in{\rm I\! R}.$$ (97)

A kezdeti feltételből meghatározhatjuk c-t: helyettesítsünk (114)-be x=3-at, azaz y=1-et és p=-2-t! Kapjuk

$$c=(-2)\cdot 1+\frac42=0,$$

azaz (114)-et felhasználva (112) y megoldására  

$${y}^\prime y+\frac{({y}^\prime)^2}{2}=0.$$ (98)

Minthogy a kezdeti x₀=3 környezetében y értéke pozitív, értéke negatív, ezért (115)-ből y-ra az

$${y}^\prime=-2y$$

lineáris differenciálegyenlet adódik. Figyelembe véve még az y(3)=1 kezdeti feltételt, felírhatjuk az eredeti kezdetiérték-feladat (egyetlen) megoldását:

y(x)=e^-2x+6.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával