Az ${y}^{\prime\prime}=f(y)$ eset

Itt az alábbi trükk lesz a segítségünkre: szorozzuk be a differenciálegyenlet mindkét oldalát $2{y}^\prime$-vel:  

$$2{y}^\prime(x){y}^{\prime\prime}(x)=2{y}^\prime(x) f(y(x)),$$ (87)

és vegyük észre, hogy az egyenlet bal oldala éppen $({y}^\prime(x))^2$deriváltja. Így (101) az alábbi alakba írható:  

$${\left(({y}^\prime(x))^2\right)}^\prime=2f(y(x)){y}^\prime(x) .$$ (88)

Integrálva (102) mindkét oldalát, majd a jobb oldalon a helyettesítéses integrálás képletét alkalmazva:

ahol

$$\int f(t)\,dt=F(t)+c_1.$$

(103) pedig már egy elsőrendű differenciálegyenlet a keresett y függvényre nézve, és mivel a jobb oldal x-et nem tartalmazza, ezért szétválasztható változójú.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával