Az ${y}^\prime=g(x)h(y)$ eset (Ezek a szétválasztható változójú egyenletek.)   Az egyenlet mindkét oldalát h(y)-nal leosztva kapjuk az   $$\frac{1}{h(y)}{y}^\prime=g(x)$$ (35) egyenletet. Integráljuk (44) mindkét oldalát x szerint! Ne feledjük el, hogy y és ${y}^\prime$ függvényei x-nek: y=y(x), !   $$\int\frac{1}{h(y(x))}{y}^\prime(x)\,dx=\int g(x)\,dx.$$ (36) A bal oldali integrandus egy szorzat: az $\frac{\displaystyle1}{\displaystyle h(y(x))}$-nek és e függvény belső függvénye deriváltjának, ${y}^\prime(x)$-nek a szorzata, ezért az integrál értéke a külső függvény, $\frac{\displaystyle1}{\displaystyle h}$ primitív függvényének a belső függvény y helyén vett helyettesítési értéke (az additív állandótól eltekintve). (Ez tulajdonképpen a helyettesítéssel való integrálás alapképlete.) Tehát (45)-ből az alábbi egyenlőség következik:   H(y(x))=G(x)+c, (37) ahol G-vel g, H-val 1/h egy primitívfüggvényét jelöltük. ((46) helyességét könnyen le is tudjuk ellenőrizni, ha megbizonyosodunk arról, hogy (46) bal és jobb oldalán álló függvényének tényleg a (45) megfelelő oldalán lévő integrandus a deriváltja: $$\left(H(y(x))\right)^\prime={H}^\prime(y(x))\,{y}^\prime(x)=\frac{1}{h(y(x))}{y}^\prime(x)$$ és $${(G(x)+c)}^\prime=g(x),$$ amint azt állítottuk.) Ezután (46)-ből y(x)-et megpróbálhatjuk kifejezni. Ha nem sikerül, akkor az y megoldást csak a (46) alatti implicit egyenlet tel adhatjuk meg. Ne feledkezzünk el arról sem, hogy (44)-hez h(y)-nal való osztás útján jutottunk el. Vizsgálni kell még azt az esetet is, amikor az osztó 0 is lehet. Amennyiben a h függvénynek van zérushelye, mondjuk h(y1)=0, úgy az differenciálegyenletnek az y(x)=y1 konstans függvény is megoldása. Formális számolással egyszerűbben is megkaphatjuk (46)-at. Most írjuk az derivált helyére a másik, tört alakos jelölést, $\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}$-et, majd ezután a dy és dx szimbólumokat önállónak tekintve gyűjtsük a bal oldalra az y-t tartalmazó tagokat, a jobb oldalra az x-et tartalmazókat (ezzel mintegy , ,szétválasztjuk'' y-t és x-et). Így az   $$\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx.$$ (38) egyenletet kapjuk. Mindkét oldalt integrálva - persze a bal oldalon dy szerepel, ezért ott y szerint, a jobb oldalon dx van, ott x szerint - nyerjük az egyenlőségeket, ami ugyanaz, mint (46). Ha ránézünk az egyenletekre, akkor látjuk, hogy a két megoldási mód lényegében lépésről lépésre ugyanaz. A második megoldási mód könnyebben megjegyezhető és ezt is fogjuk használni; az első tulajdonképpen csak a dy és dx szimbólumokkal való számolást legalizálja. Nézzünk meg most néhány kidolgozott példát.   2-1. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az $${y}^\prime=-y^2\cos x$$ differenciálegyenletet! Megoldás: Az egyenlet felírásából látszik, hogy szétválasztható változójú. A megoldást az előbb mondottak szerint végezhetjük. Először szétválasztjuk a változókat: $$\frac{1}{y^2}\,dy= -\cos(x)\,dx,$$ mindkét oldalt integrálva: y-t kifejezve: $$y = \frac{1}{\sin(x)-c}.$$ Ne feledjük el, hogy az első egyenlet felírásakor y2-nel osztottunk; y2=0-nak van gyöke, az y=0, így a differenciálegyenletnek még $y\equiv0$ is megoldása.   2-2. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az $$\left.\begin{array} {rcl} {y}^\prime &=&2^{x+y}, \\ y(0)&=&0 \end{array}\right\}$$ kezdetiérték-feladatot! Megoldás: A differenciálegyenlet jobb oldala szorzattá alakítható, hiszen $2^{x+y}=2^x\,2^y$.Itt az első tényező csak x-et, a második csak y-t tartalmazza, ezért a differenciálegyenlet szétválasztható változójú. Először a differenciálegyenletet oldjuk meg. ${y}^\prime=\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}$-et beírva és a változókat szétválasztva kapjuk $$2^{-y}\,dy=2^x\,dx.$$ Az integrálásokat elvégezve, majd y-t kifejezve megkapjuk a differenciálegyenlet megoldását: Behelyettesítve a kezdeti feltételt: $$0=-\log_2(c_1-1),\quad\mbox{{ahonnan}}\quad c_1=2.$$ Így a kezdetiérték-feladat megoldása: $$y(x)=-\log_2(2-2^x).$$   2-3. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az $$\left.\begin{array} {rcl} xy{y}^\prime &=&1, \\ y(1)&=&2\end{array}\right\}$$ kezdetiérték-feladatot! Megoldás: Szétválasztva a változókat, majd integrálva: $$y\,dy=\frac{dx}{x},\qquad\int y\,dy=\int\frac{dx}{x},\qquad \frac{y^2}{2}=\ln(\vert x\vert)+c.$$ Ebből y-ra két függvény adódik, $$y=\sqrt{2\ln(\vert x\vert)+2c},\quad\mbox{{és}}\quad y=-\sqrt{2\ln(\vert x\vert)+2c}.$$ A kezdeti feltételt a differenciálegyenlet első megoldásába helyettesítve $$2=\sqrt{2\cdot0+2c},\quad\mbox{{ahonnan}}\quad c=2,\quad\mbox{{így az első megoldás:}}\quad y=\sqrt{2\ln(x)+4}.$$ (Az abszolút érték jele elhagyható, mert az x0=1 pont elég kicsi környezetében x pozitív, márpedig a kezdetiérték-feladat megoldásának definíciója szerint (lásd a . oldalt) a megoldás x0 egy környezetében kell, hogy értelmezve legyen.) A kezdeti értéket a differenciálegyenlet második megoldásába helyettesítve $$2=-\sqrt{2\cdot0+2c},$$ aminek nincs megoldása c-re. Így a kezdetiérték-feladatnak egy megoldása van, az $$y=\sqrt{2\ln(x)+4}.$$   2-4. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az $$\left.\begin{array} {rcl} x^2(y^2+1)+2(x-1)y{y}^\prime &=&0, \\ y(-2)&=&1\end{array}\right\}$$ kezdetiérték-feladatot! Megoldás: Először fejezzük ki a differenciálegyenletből -t! $${y}^\prime=\frac{-x^2}{x-1}\frac{y^2+1}{2y}.$$ Láthatjuk, hogy a differenciálegyenlet szétválasztható változójú. Az egyenletbe -et beírva, majd a változókat szétválasztva kapjuk $$\frac{2y}{y^2+1}\,dy=-\frac{x^2}{x-1}\,dx,\qquad\int\frac{2y}{y^2+1}\,dy= -\int\frac{x^2}{x-1}\,dx.$$ Számítsuk ki az integrálokat! Így y-ra az $$\ln(y^2+1)=-\frac{x^2}{2}-x-\ln(\vert x-1\vert)+c\qquad(c=c_2-c_1)$$ összefüggést nyerjük. c-t meghatározandó helyettesítsük be a kezdeti feltételből származó x=-2, y=1 értékeket! $$\ln(1+1)=-\frac42+2-\ln(3)+c,\quad\mbox{{ahonnan}}\quad c=\ln(6).$$ Ezért a kezdetiérték-feladat megoldása: $$\ln(y^2+1)=-\frac{x^2}{2}-x-\ln(\vert x-1\vert)+\ln(6),$$ vagy még y-t kifejezve: (Két helyen kellett vigyázni az utolsó egyenlőség felírásánál: a jobb oldalon álló négyzetgyökjel elé csak a + jel kerülhet, mert a kezdeti feltételben szereplő y0=1 érték pozitív, így a megoldás is pozitív kell legyen x0 közelében; másrészt |x-1| helyett -(x-1)=1-x írható, hiszen x0=-2 közelében x-1 negatív.)   2-5. kidolgozott feladat. Egy kicsi vasgolyót beleteszünk az éppen forrásban lévő vízbe, majd felmelegedése után kivesszük a $20^\circ$C hőmérsékletű szobába. 1 perc alatt 30$^\circ$C-ot hűlt le. Mennyi idő múlva hűl le újabb 30C-ot? Megoldás: A vasgolyó hőmérsékletének leírására alkalmazzuk a Newton-féle hűlési törvényt! Így a korábban levezetett (16) egyenlet szerint a vasgolyó T hőmérsékletére a differenciálegyenletet nyerjük, ahol Tk=20, egyelőre ismeretlen együttható. A feladat szövegéből tudjuk, hogy $$T(0)=100,\qquad\mbox{és}\qquad T(1)=70.$$ (A hőmérsékletet C-ban, az időt percben mérjük, ezáltal mértékegysége 1/perc.) Oldjuk meg a differenciálegyenletet! Láthatjuk, hogy az szétválasztható változójú. Először szétválasztva a változókat, majd integrálva: $$\frac{dT}{T-T_k}=-\kappa\,dt,\qquad\int\frac{dT}{T-T_k}=-\int\kappa\,dt,$$ elvégezve az integrálást, majd rendezve: Mivel Tk=20 és a kezdeti feltétel T(0)=100, ezért T(0)-Tk>0, ezért a megoldás képletéből az abszolút érték jele elhagyható. Így a megoldás:   $$T=T_k+Ce^{-\kappa t}.$$ (39) Határozzuk meg C-t a T(0)=100 kezdeti feltételből! Behelyettesítéssel $$100=20+C\cdot1,\quad\mbox{{így}}\quad C=80$$ adódik. -t megkaphatjuk a T(1)=70 feltételből. Behelyettesítve ezt a megoldás képletébe kapjuk $$70=20+80e^{-\kappa},\quad\mbox{{ezért}}\quad\frac58=e^{-\kappa},\quad\mbox{{azaz}}\quad \kappa=\ln(\frac85).$$ Így a megoldás: $$T(t)=20+80e^{\displaystyle-\ln(\frac85)t}=20+80\left(\frac58\right)^{\displaystyle t}.$$ Mivel a differenciálegyenlet megoldásának első lépésében T-Tk-val osztottunk, ezért meg kell vizsgálni, hogy $T\equiv T_k$ megoldása-e a feladatnak! Láthatjuk, hogy a differenciálegyenletet kielégíti, de a kezdeti feltételt $T_k\ne T_0$ miatt nem, ezért a (48) alatti függvény az egyetlen megoldás. Olyan t1 időpontot kell keresnünk, amelyre T(t1)=40. Megoldva a $$20+80e^{-\ln(\frac85)t_1}=40$$ egyenletet t1-re a $$t_1=\frac{\ln(4)}{\ln(\frac85)}=2.949\ldots$$ értéket nyerjük. Tehát a vasgolyó közelítőleg 2 perc alatt hűl le újabb 30C-ot.   2-6. kidolgozott feladat. Milyen geometriai alakzatot alkotnak az $$y{y}^\prime+x=1$$ differenciálegyenlet integrálgörbéi, azaz megoldásainak grafikonjai? Megoldás: Fejezzük ki -t az egyenletből! $${y}^\prime=\frac{1-x}{y},$$ ahonnan látszik, hogy a differenciálegyenlet szétválasztható változójú. Szétválasztva a változókat és integrálva: $$y\,dy=(1-x)\,dx,\qquad\int y\,dy=\int (1-x)\,dx\qquad\frac{y^2}{2}=x-\frac{x^2}{2}+c.$$ Átrendezve az utóbbi egyenlőséget kapjuk $$x^2-2x+y^2=2c,\quad\mbox{{azaz}}\quad(x-1)^2+y^2=2c+1.$$ Megoldást csak akkor kapunk,ha $c\gt-\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2}$.Ebből a felírásból látszik, hogy az integrálgörbék az (1,0) pont körüli körvonalak alsó és felső félkörívjei.   2-7. kidolgozott feladat. Egy RC-körben (tehát egy ellenállás és egy kondenzátor sorbakapcsolásával nyert áramkörben) kikapcsoljuk az áramforrást. A kikapcsolás utáni pillanatban a rendszerben I0 erősségű áram folyik. Határozzuk meg az I áramerősséget a kikapcsolástól mért t idő függvényében! Megoldás: I-t (13) szerint az $$R\frac{dI}{dt}+\frac1C I(t)=0$$ differenciálegyenlet írja le. Tudjuk még azt, hogy I(0)=I0. A differenciálegyenlet szétválasztható változójú, ezért a szokásos módon járhatunk el a megoldásakor. $$\frac{1}{I}\,dI=-\frac{1}{RC}dt,\qquad\int\frac{1}{I}\,dI= \int-\frac{1}{RC}dt,$$ így $$\qquad \ln(\vert I\vert)=-\frac{t}{RC}+k$$ (most k jelöli az integrálási állandót). Ebből $$I=e^ke^{-\frac{t}{RC}},\quad\mbox{{$I(0)=I_0$-t figyelembe véve:}}\quad I_0=e^k.$$ Ezért a feladat megoldása: $$I(t)=I_0e^{-\frac{t}{RC}}.$$

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával