[*]
[*]
[*]

[*]
index


Az ${y}^\prime=g(x)h(y)$ eset

(Ezek a szétválasztható változójú egyenletek.)  

Az egyenlet mindkét oldalát h(y)-nal leosztva kapjuk az  
 \begin{displaymath}
\frac{1}{h(y)}{y}^\prime=g(x)\end{displaymath} (35)
egyenletet. Integráljuk (44) mindkét oldalát x szerint! Ne feledjük el, hogy y és ${y}^\prime$ függvényei x-nek: y=y(x), !  
 \begin{displaymath}
\int\frac{1}{h(y(x))}{y}^\prime(x)\,dx=\int g(x)\,dx.\end{displaymath} (36)
A bal oldali integrandus egy szorzat: az $\frac{\displaystyle1}{\displaystyle h(y(x))}$-nek és e függvény belső függvénye deriváltjának, ${y}^\prime(x)$-nek a szorzata, ezért az integrál értéke a külső függvény, $\frac{\displaystyle1}{\displaystyle h}$ primitív függvényének a belső függvény y helyén vett helyettesítési értéke (az additív állandótól eltekintve). (Ez tulajdonképpen a helyettesítéssel való integrálás alapképlete.)

Tehát (45)-ből az alábbi egyenlőség következik:

 
H(y(x))=G(x)+c, (37)

ahol G-vel g, H-val 1/h egy primitívfüggvényét jelöltük. ((46) helyességét könnyen le is tudjuk ellenőrizni, ha megbizonyosodunk arról, hogy (46) bal és jobb oldalán álló függvényének tényleg a (45) megfelelő oldalán lévő integrandus a deriváltja:

\begin{displaymath}
\left(H(y(x))\right)^\prime={H}^\prime(y(x))\,{y}^\prime(x)=\frac{1}{h(y(x))}{y}^\prime(x)\end{displaymath}

és

\begin{displaymath}
{(G(x)+c)}^\prime=g(x),\end{displaymath}

amint azt állítottuk.)

Ezután (46)-ből y(x)-et megpróbálhatjuk kifejezni. Ha nem sikerül, akkor az y megoldást csak a (46) alatti implicit egyenlet tel adhatjuk meg.

Ne feledkezzünk el arról sem, hogy (44)-hez h(y)-nal való osztás útján jutottunk el. Vizsgálni kell még azt az esetet is, amikor az osztó 0 is lehet. Amennyiben a h függvénynek van zérushelye, mondjuk h(y1)=0, úgy az differenciálegyenletnek az y(x)=y1 konstans függvény is megoldása.


Formális számolással egyszerűbben is megkaphatjuk (46)-at. Most írjuk az derivált helyére a másik, tört alakos jelölést, $\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}$-et, majd ezután a dy és dx szimbólumokat önállónak tekintve gyűjtsük a bal oldalra az y-t tartalmazó tagokat, a jobb oldalra az x-et tartalmazókat (ezzel mintegy , ,szétválasztjuk'' y-t és x-et). Így az  
 \begin{displaymath}
\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx.\end{displaymath} (38)
egyenletet kapjuk. Mindkét oldalt integrálva - persze a bal oldalon dy szerepel, ezért ott y szerint, a jobb oldalon dx van, ott x szerint - nyerjük az

egyenlőségeket, ami ugyanaz, mint (46).

Ha ránézünk az egyenletekre, akkor látjuk, hogy a két megoldási mód lényegében lépésről lépésre ugyanaz. A második megoldási mód könnyebben megjegyezhető és ezt is fogjuk használni; az első tulajdonképpen csak a dy és dx szimbólumokkal való számolást legalizálja.

Nézzünk meg most néhány kidolgozott példát.

 



2-1. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az

\begin{displaymath}
{y}^\prime=-y^2\cos x\end{displaymath}

differenciálegyenletet!

Megoldás: Az egyenlet felírásából látszik, hogy szétválasztható változójú. A megoldást az előbb mondottak szerint végezhetjük. Először szétválasztjuk a változókat:

\begin{displaymath}
\frac{1}{y^2}\,dy= -\cos(x)\,dx,\end{displaymath}

mindkét oldalt integrálva:

y-t kifejezve:

\begin{displaymath}
y = \frac{1}{\sin(x)-c}.\end{displaymath}

Ne feledjük el, hogy az első egyenlet felírásakor y2-nel osztottunk; y2=0-nak van gyöke, az y=0, így a differenciálegyenletnek még $y\equiv0$ is megoldása.


 



2-2. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az

\begin{displaymath}
\left.\begin{array}
{rcl}
{y}^\prime &=&2^{x+y}, \\ y(0)&=&0 \end{array}\right\}\end{displaymath}

kezdetiérték-feladatot!

Megoldás: A differenciálegyenlet jobb oldala szorzattá alakítható, hiszen $2^{x+y}=2^x\,2^y$.Itt az első tényező csak x-et, a második csak y-t tartalmazza, ezért a differenciálegyenlet szétválasztható változójú.

Először a differenciálegyenletet oldjuk meg. ${y}^\prime=\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}$-et beírva és a változókat szétválasztva kapjuk

\begin{displaymath}
2^{-y}\,dy=2^x\,dx.\end{displaymath}

Az integrálásokat elvégezve, majd y-t kifejezve megkapjuk a differenciálegyenlet megoldását:

Behelyettesítve a kezdeti feltételt:

\begin{displaymath}
0=-\log_2(c_1-1),\quad\mbox{{ahonnan}}\quad c_1=2.\end{displaymath}

Így a kezdetiérték-feladat megoldása:

\begin{displaymath}
y(x)=-\log_2(2-2^x).\end{displaymath}



 



2-3. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az

\begin{displaymath}
\left.\begin{array}
{rcl}
xy{y}^\prime &=&1, \\ y(1)&=&2\end{array}\right\}\end{displaymath}

kezdetiérték-feladatot!

Megoldás: Szétválasztva a változókat, majd integrálva:

\begin{displaymath}
y\,dy=\frac{dx}{x},\qquad\int y\,dy=\int\frac{dx}{x},\qquad
\frac{y^2}{2}=\ln(\vert x\vert)+c.\end{displaymath}

Ebből y-ra két függvény adódik,

\begin{displaymath}
y=\sqrt{2\ln(\vert x\vert)+2c},\quad\mbox{{és}}\quad y=-\sqrt{2\ln(\vert x\vert)+2c}.\end{displaymath}

A kezdeti feltételt a differenciálegyenlet első megoldásába helyettesítve

\begin{displaymath}
2=\sqrt{2\cdot0+2c},\quad\mbox{{ahonnan}}\quad c=2,\quad\mbox{{így az első
megoldás:}}\quad y=\sqrt{2\ln(x)+4}.\end{displaymath}

(Az abszolút érték jele elhagyható, mert az x0=1 pont elég kicsi környezetében x pozitív, márpedig a kezdetiérték-feladat megoldásának definíciója szerint (lásd a [*]. oldalt) a megoldás x0 egy környezetében kell, hogy értelmezve legyen.)

A kezdeti értéket a differenciálegyenlet második megoldásába helyettesítve

\begin{displaymath}
2=-\sqrt{2\cdot0+2c},\end{displaymath}

aminek nincs megoldása c-re.

Így a kezdetiérték-feladatnak egy megoldása van, az

\begin{displaymath}
y=\sqrt{2\ln(x)+4}.\end{displaymath}



 



2-4. kidolgozott feladat. Oldjuk meg az

\begin{displaymath}
\left.\begin{array}
{rcl}
x^2(y^2+1)+2(x-1)y{y}^\prime &=&0, \\ y(-2)&=&1\end{array}\right\}\end{displaymath}

kezdetiérték-feladatot!

Megoldás: Először fejezzük ki a differenciálegyenletből -t!

\begin{displaymath}
{y}^\prime=\frac{-x^2}{x-1}\frac{y^2+1}{2y}.\end{displaymath}

Láthatjuk, hogy a differenciálegyenlet szétválasztható változójú. Az egyenletbe -et beírva, majd a változókat szétválasztva kapjuk

\begin{displaymath}
\frac{2y}{y^2+1}\,dy=-\frac{x^2}{x-1}\,dx,\qquad\int\frac{2y}{y^2+1}\,dy=
-\int\frac{x^2}{x-1}\,dx.\end{displaymath}

Számítsuk ki az integrálokat!

Így y-ra az

\begin{displaymath}
\ln(y^2+1)=-\frac{x^2}{2}-x-\ln(\vert x-1\vert)+c\qquad(c=c_2-c_1)\end{displaymath}

összefüggést nyerjük.

c-t meghatározandó helyettesítsük be a kezdeti feltételből származó x=-2, y=1 értékeket!

\begin{displaymath}
\ln(1+1)=-\frac42+2-\ln(3)+c,\quad\mbox{{ahonnan}}\quad c=\ln(6).\end{displaymath}

Ezért a kezdetiérték-feladat megoldása:

\begin{displaymath}
\ln(y^2+1)=-\frac{x^2}{2}-x-\ln(\vert x-1\vert)+\ln(6),\end{displaymath}

vagy még y-t kifejezve:

(Két helyen kellett vigyázni az utolsó egyenlőség felírásánál: a jobb oldalon álló négyzetgyökjel elé csak a + jel kerülhet, mert a kezdeti feltételben szereplő y0=1 érték pozitív, így a megoldás is pozitív kell legyen x0 közelében; másrészt |x-1| helyett -(x-1)=1-x írható, hiszen x0=-2 közelében x-1 negatív.)

 



2-5. kidolgozott feladat. Egy kicsi vasgolyót beleteszünk az éppen forrásban lévő vízbe, majd felmelegedése után kivesszük a $20^\circ$C hőmérsékletű szobába. 1 perc alatt 30$^\circ$C-ot hűlt le.

Mennyi idő múlva hűl le újabb 30C-ot?

Megoldás: A vasgolyó hőmérsékletének leírására alkalmazzuk a Newton-féle hűlési törvényt! Így a korábban levezetett (16) egyenlet szerint a vasgolyó T hőmérsékletére a

differenciálegyenletet nyerjük, ahol Tk=20, egyelőre ismeretlen együttható. A feladat szövegéből tudjuk, hogy

\begin{displaymath}
T(0)=100,\qquad\mbox{és}\qquad T(1)=70.\end{displaymath}

(A hőmérsékletet C-ban, az időt percben mérjük, ezáltal mértékegysége 1/perc.)

Oldjuk meg a differenciálegyenletet! Láthatjuk, hogy az szétválasztható változójú. Először szétválasztva a változókat, majd integrálva:

\begin{displaymath}
\frac{dT}{T-T_k}=-\kappa\,dt,\qquad\int\frac{dT}{T-T_k}=-\int\kappa\,dt,\end{displaymath}

elvégezve az integrálást, majd rendezve:

Mivel Tk=20 és a kezdeti feltétel T(0)=100, ezért T(0)-Tk>0, ezért a megoldás képletéből az abszolút érték jele elhagyható. Így a megoldás:  
 \begin{displaymath}
T=T_k+Ce^{-\kappa t}.\end{displaymath} (39)

Határozzuk meg C-t a T(0)=100 kezdeti feltételből! Behelyettesítéssel

\begin{displaymath}
100=20+C\cdot1,\quad\mbox{{így}}\quad C=80\end{displaymath}

adódik. -t megkaphatjuk a T(1)=70 feltételből. Behelyettesítve ezt a megoldás képletébe kapjuk

\begin{displaymath}
70=20+80e^{-\kappa},\quad\mbox{{ezért}}\quad\frac58=e^{-\kappa},\quad\mbox{{azaz}}\quad
\kappa=\ln(\frac85).\end{displaymath}

Így a megoldás:

\begin{displaymath}
T(t)=20+80e^{\displaystyle-\ln(\frac85)t}=20+80\left(\frac58\right)^{\displaystyle t}.\end{displaymath}

Mivel a differenciálegyenlet megoldásának első lépésében T-Tk-val osztottunk, ezért meg kell vizsgálni, hogy $T\equiv T_k$ megoldása-e a feladatnak! Láthatjuk, hogy a differenciálegyenletet kielégíti, de a kezdeti feltételt $T_k\ne
T_0$ miatt nem, ezért a (48) alatti függvény az egyetlen megoldás.

Olyan t1 időpontot kell keresnünk, amelyre T(t1)=40. Megoldva a

\begin{displaymath}
20+80e^{-\ln(\frac85)t_1}=40\end{displaymath}

egyenletet t1-re a

\begin{displaymath}
t_1=\frac{\ln(4)}{\ln(\frac85)}=2.949\ldots\end{displaymath}

értéket nyerjük.

Tehát a vasgolyó közelítőleg 2 perc alatt hűl le újabb 30C-ot.

 



2-6. kidolgozott feladat. Milyen geometriai alakzatot alkotnak az

\begin{displaymath}
y{y}^\prime+x=1\end{displaymath}

differenciálegyenlet integrálgörbéi, azaz megoldásainak grafikonjai?

Megoldás: Fejezzük ki -t az egyenletből!

\begin{displaymath}
{y}^\prime=\frac{1-x}{y},\end{displaymath}

ahonnan látszik, hogy a differenciálegyenlet szétválasztható változójú.

Szétválasztva a változókat és integrálva:

\begin{displaymath}
y\,dy=(1-x)\,dx,\qquad\int y\,dy=\int
(1-x)\,dx\qquad\frac{y^2}{2}=x-\frac{x^2}{2}+c.\end{displaymath}

Átrendezve az utóbbi egyenlőséget kapjuk

\begin{displaymath}
x^2-2x+y^2=2c,\quad\mbox{{azaz}}\quad(x-1)^2+y^2=2c+1.\end{displaymath}

Megoldást csak akkor kapunk,ha $c\gt-\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2}$.Ebből a felírásból látszik, hogy az integrálgörbék az (1,0) pont körüli körvonalak alsó és felső félkörívjei.


 



2-7. kidolgozott feladat. Egy RC-körben (tehát egy ellenállás és egy kondenzátor sorbakapcsolásával nyert áramkörben) kikapcsoljuk az áramforrást. A kikapcsolás utáni pillanatban a rendszerben I0 erősségű áram folyik.

Határozzuk meg az I áramerősséget a kikapcsolástól mért t idő függvényében!

Megoldás: I-t (13) szerint az

\begin{displaymath}
R\frac{dI}{dt}+\frac1C I(t)=0\end{displaymath}

differenciálegyenlet írja le. Tudjuk még azt, hogy I(0)=I0.

A differenciálegyenlet szétválasztható változójú, ezért a szokásos módon járhatunk el a megoldásakor.

\begin{displaymath}
\frac{1}{I}\,dI=-\frac{1}{RC}dt,\qquad\int\frac{1}{I}\,dI=
\int-\frac{1}{RC}dt,\end{displaymath}

így

\begin{displaymath}
\qquad \ln(\vert I\vert)=-\frac{t}{RC}+k\end{displaymath}

(most k jelöli az integrálási állandót).

Ebből

\begin{displaymath}
I=e^ke^{-\frac{t}{RC}},\quad\mbox{{$I(0)=I_0$-t figyelembe
véve:}}\quad I_0=e^k.\end{displaymath}

Ezért a feladat megoldása:

\begin{displaymath}
I(t)=I_0e^{-\frac{t}{RC}}.\end{displaymath}



[*]
Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásába
Készült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával