Elsőrendű, közönséges differenciálegyenletek néhány osztályának megoldása Tekintsük az differenciálegyenletet. Láttuk az előzőekben, hogy a differenciálegyenlet jobb oldalának, az f=f(x,y) kétváltozós függvénynek az ismeretében gyakran eldönthető, hogy a differenciálegyenletnek van-e megoldása. Azonban a fenti tételek arról nem adnak információt, hogy a megoldás hogyan írható fel. Ebben az alfejezetben olyan speciális f-eket vizsgálunk meg, amikor a megoldást elő tudjuk állítani valamilyen formában. Általában a megoldást nem kaphatjuk meg egy zárt képlet alakjában, például az $$y(x)=\int{e^{x^2}dx}$$ függvények a határozatlan integrál definíciója miatt kielégítik az $${y}^\prime=e^{x^2}$$ egyenletet, azonban bizonyított, hogy ezek az y(x) függvény ek nem írhatók fel csak az elemi függvények (azaz a hatvány-, exponenciális-, trigonometrikus függvények, ezek inverzei) felhasználásával véges sok művelet (összeadás, szorzás, osztás, függvénykompozíció) segítségével, röviden véges képlettel. Sőt, még az sem elegendő differenciálegyenletek megoldásainak véges képlettel való felírhatóságához, hogy megengedjük még az eddigi értelemben véges képletű függvények primitív függvényeinek (így pl. az előző differenciálegyenlet megoldásának) a szerepeltetését a képletekben: az is bizonyított, hogy az $${y}^\prime=x^2+y^2$$ egyenletnek még így sem adható meg véges képlettel a megoldása (de megoldása van). Ezért - kicsit tréfásan szólva - örülnünk kell, ha egy differenciálegyenletből el tudjuk tüntetni a deriváltakat és az integráljeleket. Amikor nem sikerül, akkor valamilyen közelítő módszerre (pl. a megoldás Taylor-polinomjainak előállítására) van szükségünk. Ezzel a kérdéssel majd egy későbbi fejezetben foglalkozunk. Most tehát az differenciálegyenletekkel foglalkozunk, speciális f-ek mellett. A továbbiakban feltételezzük, hogy az egyenletnek létezik megoldása, ami pl. f mint kétváltozós függvény folytonossága mellett állítható.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával